Limite d’une suite : définition, théorèmes et exercices corrigés

Qu’est-ce que la limite d’une suite ?

Une suite (uₙ) admet pour limite L (un nombre réel) quand n tend vers +∞ si les termes uₙ se rapprochent de L d’aussi près qu’on le souhaite à partir d’un certain rang. On écrit : lim(n→+∞) uₙ = L. La suite est alors dite convergente.

Formellement : pour tout ε > 0, il existe un rang N tel que pour tout n ≥ N, |uₙ − L| < ε.

Si les termes de la suite grandissent sans borne, on dit que la suite diverge vers +∞ : lim(n→+∞) uₙ = +∞. Une suite qui n’admet aucune limite (ni finie ni infinie) est simplement dite divergente. Par exemple, la suite (−1)ⁿ diverge sans tendre vers l’infini.

Comment déterminer la limite d’une suite ?

Plusieurs méthodes pratiques permettent d’établir le comportement d’une suite lorsque n tend vers l’infini. La première approche consiste à utiliser les suites de référence : reconnaître si la suite étudiée s’apparente à une suite géométrique, arithmétique, ou à une expression de type 1/n^k.

Lorsque la suite s’exprime sous forme de quotient de polynômes, la technique de factorisation par le terme de plus haut degré s’avère redoutable. On divise numérateur et dénominateur par la plus haute puissance de n présente. Cette méthode transforme souvent des expressions complexes en calculs élémentaires.

Les règles opératoires sur les limites constituent un autre outil fondamental. Elles permettent de décomposer une suite complexe en somme, produit ou quotient de suites plus simples dont on maîtrise le comportement. Prenons l’exemple de la suite u_n = (2n+1)/(3n-5) : en factorisant par n, on obtient (2+1/n)/(3-5/n) qui tend clairement vers 2/3.

Limite d’une suite constante

Si uₙ = c pour tout n, alors la limite est simplement c. C’est le cas le plus élémentaire de convergence.

Limite d’une suite arithmétique

Pour une suite arithmétique de raison r : si r > 0, la suite tend vers +∞ ; si r < 0, elle tend vers −∞ ; si r = 0, elle converge vers son premier terme.

Limite d’une suite géométrique

Pour une suite géométrique de raison q, les résultats dépendent de la valeur de |q|. Si |q| < 1, la suite converge vers 0 (qⁿ → 0). Si q = 1, la suite est constante. Si q > 1, la suite tend vers +∞. Si q ≤ −1, la suite diverge (elle oscille). Ces résultats sont fondamentaux et doivent être connus par cœur.

Comment montrer qu’une suite n’a pas de limite ?

Plusieurs techniques pratiques permettent de prouver qu’une suite ne converge pas. La méthode la plus courante consiste à utiliser un raisonnement par l’absurde : on suppose que la suite admet une limite L, puis on montre que cette hypothèse mène à une contradiction.

Prenons l’exemple classique de la suite alternée uₙ = (-1)ⁿ. Les termes oscillent indéfiniment entre -1 et 1 selon la parité de n. Aucun intervalle ouvert ne peut contenir tous les termes à partir d’un certain rang, ce qui prouve l’absence de limite.

Une autre approche consiste à extraire deux sous-suites qui convergent vers des valeurs différentes. Pour uₙ = (-1)ⁿ, la sous-suite des rangs pairs tend vers 1 tandis que celle des rangs impairs tend vers -1. Cette contradiction établit que la suite originale diverge sans limite finie ni infinie.

Opérations sur les limites de suites

Comme pour les limites de fonctions, les limites de suites se combinent selon des règles précises. La somme de deux suites convergentes de limites L₁ et L₂ converge vers L₁ + L₂. Le produit converge vers L₁ × L₂. Le quotient converge vers L₁/L₂ si L₂ ≠ 0. Les mêmes formes indéterminées apparaissent : « +∞ − ∞ », « 0 × ∞ », « ∞/∞ ».

Le théorème des gendarmes

Le théorème des gendarmes (ou théorème d’encadrement) est l’un des outils les plus puissants pour déterminer une limite. Si pour tout n à partir d’un certain rang, aₙ ≤ uₙ ≤ bₙ, et si les suites (aₙ) et (bₙ) convergent vers la même limite L, alors (uₙ) converge aussi vers L.

Exemple : Montrer que la suite uₙ = sin(n)/n converge vers 0. On encadre : −1/n ≤ sin(n)/n ≤ 1/n. Comme −1/n et 1/n tendent vers 0, par le théorème des gendarmes, uₙ → 0.

Théorème de convergence monotone

Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge. Ce théorème est fondamental pour prouver l’existence d’une limite sans la calculer explicitement. On l’utilise fréquemment avec les suites récurrentes : on montre d’abord la monotonie (souvent par récurrence), puis le caractère borné, et on en déduit la convergence.

Comment conjecturer la limite d’une suite ?

Avant de démontrer une limite, on peut la conjecturer en calculant les premiers termes à la calculatrice ou à l’aide d’un algorithme. Cette étape donne une intuition qui guide la démonstration. Attention cependant : une conjecture n’est jamais une preuve.

Exercices corrigés

Ce qu’il faut retenir

L’étude de la limite d’une suite mobilise les limites de suites de référence (arithmétiques, géométriques), les opérations sur les limites, le théorème des gendarmes et le théorème de convergence monotone. Pour compléter ce chapitre, consultez nos articles sur les suites numériques, la suite arithmétique et la suite géométrique.

La difficulté principale réside dans le choix de la bonne technique face à chaque exercice. Un accompagnement adapté aide à développer ce réflexe stratégique, essentiel pour les épreuves du baccalauréat et la poursuite d’études en classes préparatoires ou à l’université.