Suite géométrique : définition, formules et exercices corrigés
Katia EDWARD - 25/02/2026Définition de la suite géométrique
La suite géométrique est, avec la suite arithmétique, l’un des deux types fondamentaux de suites numériques étudiés au lycée. Elle se caractérise par une progression multiplicative : on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre, appelé raison. Présente dans de nombreux domaines (finance, biologie, physique), la suite géométrique modélise les phénomènes de croissance ou de décroissance exponentielle.
Qu’est-ce qu’une suite géométrique ?
Une suite (uₙ) est géométrique lorsqu’il existe un nombre réel q ≠ 0, appelé raison, tel que pour tout entier naturel n : uₙ₊₁ = uₙ × q. Autrement dit, le quotient entre deux termes consécutifs est constant. Si q > 1, la suite croît de plus en plus vite. Si 0 < q < 1, la suite décroît vers 0. Si q < 0, la suite change de signe à chaque terme.
Exemple : La suite 2, 6, 18, 54, 162, … est géométrique de premier terme u₀ = 2 et de raison q = 3.
Comment démontrer qu’une suite est géométrique ?
Pour montrer qu’une suite est géométrique, on calcule le quotient uₙ₊₁/uₙ et on vérifie qu’il est constant (indépendant de n). Attention : cette méthode n’est valable que si uₙ ≠ 0 pour tout n. Si le quotient dépend de n, la suite n’est pas géométrique.
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Formule du terme général
La formule explicite d’une suite géométrique permet de calculer n’importe quel terme directement :
uₙ = u₀ × qⁿ
Si le premier terme est indexé à 1 : uₙ = u₁ × qⁿ⁻¹.
Exemple : Avec u₀ = 2 et q = 3, on obtient u₅ = 2 × 3⁵ = 2 × 243 = 486.
Plus généralement, pour relier deux termes quelconques : uₙ = uₚ × qⁿ⁻ᵖ.
Comment calculer la raison d’une suite géométrique ?
Si l’on connaît deux termes uₚ et uₙ (avec p ≠ n), la raison se retrouve par : q = (uₙ/uₚ)(1/(n−p)).
Exemple : Si u₂ = 12 et u₅ = 324, alors q³ = 324/12 = 27, donc q = 3.
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Somme des termes d’une suite géométrique
La somme des n+1 premiers termes (de u₀ à uₙ) d’une suite géométrique de raison q ≠ 1 se calcule par :
Sₙ = u₀ × (1 − qⁿ⁺¹) / (1 − q)
La formule générale de la somme géométrique, valable indépendamment du contexte des suites, est : 1 + q + q² + … + qⁿ = (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q).
Exemple : Avec u₀ = 1 et q = 2, la somme des 5 premiers termes (u₀ à u₄) vaut (1 − 2⁵)/(1 − 2) = (1 − 32)/(−1) = 31. Vérification : 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31.
Sens de variation d’une suite géométrique
Le sens de variation dépend à la fois de la raison q et du signe du premier terme. Si u₀ > 0 et q > 1, la suite est strictement croissante. Si u₀ > 0 et 0 < q < 1, elle est strictement décroissante. Si q < 0, la suite n’est ni croissante ni décroissante : elle oscille.
Limite d’une suite géométrique
La limite d’une suite géométrique dépend de la valeur absolue de la raison. Si |q| < 1, alors qⁿ → 0, donc uₙ = u₀ × qⁿ → 0. Si q = 1, la suite est constante égale à u₀. Si q > 1 et u₀ > 0, la suite diverge vers +∞. Si q ≤ −1, la suite diverge (oscillation de plus en plus ample ou constante).
Différence entre suite arithmétique et suite géométrique
Dans une suite arithmétique, la différence uₙ₊₁ − uₙ est constante (croissance linéaire). Dans une suite géométrique, c’est le quotient uₙ₊₁/uₙ qui est constant (croissance exponentielle). La représentation graphique d’une suite arithmétique est un ensemble de points alignés, tandis que celle d’une suite géométrique suit une courbe exponentielle.
Exercices corrigés
Exercice 1 :
La suite (uₙ) est géométrique avec u₀ = 5 et q = 1/2. Calculer u₄ et la somme S₄ = u₀ + u₁ + u₂ + u₃ + u₄.
Correction 1 :
u₄ = 5 × (1/2)⁴ = 5/16. S₄ = 5 × (1 − (1/2)⁵)/(1 − 1/2) = 5 × (1 − 1/32)/(1/2) = 5 × (31/32) × 2 = 155/16 ≈ 9,69.
Exercice 2 :
Montrer que uₙ = 3 × 4ⁿ est une suite géométrique et préciser sa raison.
Correction 2 :
uₙ₊₁/uₙ = (3 × 4ⁿ⁺¹)/(3 × 4ⁿ) = 4. Le quotient est constant, donc la suite est géométrique de raison q = 4.
Exercice 3 :
Un capital de 1 000 € est placé à un taux annuel de 5 %. Quel est le capital après 10 ans ?
Correction 3 :
Le capital suit une suite géométrique de raison 1,05 et de premier terme 1 000. Après 10 ans : C₁₀ = 1 000 × 1,05¹⁰ ≈ 1 628,89 €.
Ce qu’il faut retenir
La suite géométrique est définie par une raison multiplicative constante. Ses formules clés sont le terme général uₙ = u₀ × qⁿ et la somme Sₙ = u₀(1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q). La nature de sa limite dépend de |q|. Pour compléter, consultez nos articles sur la suite arithmétique, les suites numériques et la limite d’une suite.
Les confusions entre formules arithmétiques et géométriques sont fréquentes et coûteuses aux examens. Un travail ciblé avec un enseignant permet de fixer durablement ces automatismes et de traiter avec aisance les problèmes concrets qui mobilisent ces deux types de suites.