Suite arithmétique : définition, formules et exercices corrigés
Katia EDWARD - 25/02/2026Définition de la suite arithmétique
La suite arithmétique est l’un des deux grands types de suites numériques étudiés au lycée, avec la suite géométrique. Elle se caractérise par une progression régulière : on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, appelé raison.
Présente dès la classe de Première, la suite arithmétique intervient dans de nombreux problèmes concrets liés à la croissance linéaire.
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Qu’est-ce qu’une suite arithmétique ?
Une suite (uₙ) est arithmétique lorsqu’il existe un nombre réel r, appelé raison, tel que pour tout entier naturel n : uₙ₊₁ = uₙ + r. Autrement dit, la différence entre deux termes consécutifs est constante. Si r > 0, la suite est croissante. Si r < 0, elle est décroissante. Si r = 0, la suite est constante.
Exemple : La suite 3, 7, 11, 15, 19, … est arithmétique de premier terme u₀ = 3 et de raison r = 4.
Quelle est la formule explicite d’une suite arithmétique ?
La formule explicite d’une suite arithmétique permet de calculer n’importe quel terme directement, sans connaître les termes précédents. Cette approche s’avère particulièrement utile lorsque vous cherchez un terme de rang élevé.
Pour une suite arithmétique de premier terme u₀ et de raison r, la formule s’exprime sous la forme : uₙ = u₀ + n × r. Chaque terme se détermine uniquement à partir de son rang n, du premier terme et de la raison.
Prenons un exemple concret : soit la suite arithmétique de premier terme u₁ = 7 et de raison r = -3. Le quinzième terme se calcule instantanément : u₁₅ = 7 + 14 × (-3) = 7 – 42 = -35. Sans cette formule, il faudrait calculer successivement tous les termes intermédiaires.
Cette définition d’une suite sous forme explicite facilite grandement les calculs et constitue un outil indispensable pour résoudre les exercices complexes.
Comment reconnaître une suite arithmétique ?
Pour démontrer qu’une suite est arithmétique, on calcule la différence uₙ₊₁ − uₙ et on montre qu’elle est constante (indépendante de n). Si cette différence dépend de n, la suite n’est pas arithmétique.
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Comment calculer une suite arithmétique ?
Plusieurs méthodes de calcul s’offrent à vous selon les informations disponibles. Lorsque vous connaissez le premier terme et la raison, utilisez directement la formule explicite uₙ = u₀ + n × r.
Si vous disposez de deux termes quelconques uₚ et uᵨ, déterminez d’abord la raison par r = (uᵨ – uₚ)/(q – p). Une fois r trouvée, remontez au premier terme grâce à u₀ = uₚ – p × r. Cette démarche systématique garantit des résultats fiables.
Prenons le cas où u₅ = 17 et u₈ = 26. La raison vaut r = (26 – 17)/(8 – 5) = 3. Le premier terme devient u₀ = 17 – 5 × 3 = 2. Vous pouvez maintenant déterminer n’importe quel terme de cette suite.
Comment calculer une suite arithmétique ?
Plusieurs méthodes de calcul s’offrent à vous selon les informations disponibles. Lorsque vous connaissez le premier terme et la raison, utilisez directement la formule explicite uₙ = u₀ + n × r.
Si vous disposez de deux termes quelconques uₚ et uᵨ, déterminez d’abord la raison par r = (uᵨ – uₚ)/(q – p). Une fois r trouvée, remontez au premier terme grâce à u₀ = uₚ – p × r. Cette démarche systématique garantit des résultats fiables.
Prenons le cas où u₅ = 17 et u₈ = 26. La raison vaut r = (26 – 17)/(8 – 5) = 3. Le premier terme devient u₀ = 17 – 5 × 3 = 2. Vous pouvez maintenant déterminer n’importe quel terme de cette suite.
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Formule du terme général
La formule explicite d’une suite arithmétique permet de calculer directement n’importe quel terme sans passer par les précédents :
uₙ = u₀ + n × r
Si le premier terme est indexé à 1 : uₙ = u₁ + (n − 1) × r.
Exemple : Avec u₀ = 3 et r = 4, on obtient u₁₀ = 3 + 10 × 4 = 43.
Plus généralement, pour relier deux termes quelconques : uₙ = uₚ + (n − p) × r.
Somme des termes d’une suite arithmétique
La somme des n premiers termes d’une suite arithmétique se calcule grâce à la formule :
Sₙ = (nombre de termes) × (premier terme + dernier terme) / 2
Soit, pour la somme de u₀ à uₙ : Sₙ = (n + 1) × (u₀ + uₙ) / 2.
Exemple : La somme des entiers de 1 à 100 vaut 100 × (1 + 100) / 2 = 5 050. C’est l’anecdote célèbre attribuée au mathématicien Gauss.
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Sens de variation
Le sens de variation d’une suite arithmétique dépend uniquement du signe de la raison. Si r > 0, la suite est strictement croissante. Si r < 0, elle est strictement décroissante. La représentation graphique d’une suite arithmétique correspond à des points alignés sur une droite de pente r, ce qui rappelle le comportement d’une fonction affine.
Limite d’une suite arithmétique
La limite d’une suite arithmétique se déduit directement de la raison. Si r > 0, la suite tend vers +∞. Si r < 0, elle tend vers −∞. Si r = 0, la suite converge vers u₀.
Différence entre suite arithmétique et suite géométrique
Dans une suite arithmétique, on additionne la raison pour passer d’un terme au suivant (croissance linéaire). Dans une suite géométrique, on multiplie par la raison (croissance exponentielle). Pour distinguer les deux, on calcule soit la différence uₙ₊₁ − uₙ (constante pour une suite arithmétique), soit le quotient uₙ₊₁/uₙ (constant pour une suite géométrique).
Exercices corrigés
Exercice 1 :
La suite (uₙ) est arithmétique avec u₃ = 11 et u₇ = 23. Déterminer r et u₀.
Résolution 1 :
u₇ − u₃ = 4r, donc 23 − 11 = 4r, soit r = 3. Puis u₀ = u₃ − 3r = 11 − 9 = 2. Vérification : u₇ = 2 + 7×3 = 23.
Exercice 2 :
Calculer la somme u₀ + u₁ + … + u₂₀ pour la suite arithmétique de premier terme u₀ = 5 et de raison r = 2.
Résolution 2 :
u₂₀ = 5 + 20×2 = 45. S = 21 × (5 + 45)/2 = 21 × 25 = 525.
Exercice 3 :
Montrer que la suite uₙ = 4n − 7 est arithmétique et préciser sa raison.
Résolution 3 :
uₙ₊₁ − uₙ = 4(n+1) − 7 − (4n − 7) = 4. La différence est constante, donc la suite est arithmétique de raison r = 4.
Ce qu’il faut retenir
La suite arithmétique est définie par une raison constante ajoutée à chaque terme. Ses formules essentielles sont le terme général uₙ = u₀ + nr et la somme Sₙ = (n+1)(u₀ + uₙ)/2. Pour poursuivre, retrouvez nos articles sur les suites géométriques, les suites numériques et la limite d’une suite.
Si vous confondez encore les formules des suites arithmétiques et géométriques ou si les exercices de recherche de raison vous posent problème, un travail personnalisé permet de clarifier ces mécanismes rapidement et d’aborder les évaluations avec sérénité.