Suites numériques : cours complet, types de suites et exercices corrigés
Katia EDWARD - 25/02/2026Définitions des suites numériques
Les suites numériques sont des fonctions qui à chaque entier naturel associent un nombre réel. Elles constituent un chapitre central du programme de Première et de Terminale, servant de pont entre l’arithmétique et l’analyse. Ce cours aborde les définitions, les modes de génération, le sens de variation, les limites et les différents types de suites, avec des exercices progressifs.
Qu’est-ce qu’une suite numérique ?
Une suite numérique est une fonction de ℕ (ou d’une partie de ℕ) dans ℝ. Elle associe à chaque entier naturel n un nombre réel uₙ, appelé terme d’indice n. On note la suite (uₙ) et ses termes successifs u₀, u₁, u₂, … Le premier terme est le plus souvent u₀ ou u₁ selon la convention choisie.
Deux modes de définition
Définition explicite
La suite est définie par une formule qui donne directement uₙ en fonction de n. Par exemple, uₙ = 3n + 2. On peut calculer n’importe quel terme sans connaître les précédents : u₁₀₀ = 302.
Définition par récurrence
La suite est définie par une relation de récurrence qui exprime chaque terme en fonction des termes précédents, avec un ou plusieurs termes initiaux. Par exemple, u₀ = 1 et uₙ₊₁ = 2uₙ + 3. Pour calculer u₅, il faut d’abord calculer u₁, u₂, u₃, u₄. Ce mode de définition est souvent associé au raisonnement par récurrence.
Les suites tombent systématiquement aux concours post-bac
Advance, Avenir, Geipi Polytech, Puissance Alpha… Ne laissez pas ce chapitre vous coûter votre place en école d’ingénieur.
Sens de variation d’une suite
Une suite est croissante si uₙ₊₁ ≥ uₙ pour tout n, et strictement croissante si l’inégalité est stricte. Elle est décroissante si uₙ₊₁ ≤ uₙ. Une suite qui n’est ni croissante ni décroissante n’a pas de monotonie globale.
Pour déterminer le sens de variation, on peut étudier le signe de uₙ₊₁ − uₙ (méthode directe), calculer le rapport uₙ₊₁/uₙ si les termes sont positifs, ou étudier la fonction f telle que uₙ = f(n).
Suites bornées
Une suite est majorée s’il existe un réel M tel que uₙ ≤ M pour tout n. Elle est minorée s’il existe un réel m tel que uₙ ≥ m pour tout n. Elle est bornée si elle est à la fois majorée et minorée. Le théorème de convergence monotone affirme que toute suite croissante et majorée converge, et toute suite décroissante et minorée converge.
Quels sont les deux types de suites classiques ?
Les deux types de suites les plus étudiés au lycée sont la suite arithmétique (uₙ₊₁ = uₙ + r, progression additive constante) et la suite géométrique (uₙ₊₁ = q × uₙ, progression multiplicative constante). Elles possèdent des formules explicites et des sommes connues qui simplifient considérablement les calculs.
Au-delà de ces deux familles, on rencontre aussi les suites arithmético-géométriques (uₙ₊₁ = auₙ + b), les suites définies par récurrence non linéaire, et les suites auxiliaires qui permettent de se ramener à un cas connu.
Connaissez-vous les astuces de calcul mental pour les concours ?
Aux concours Puissance Alpha ou Avenir, vous n’aurez pas de calculatrice. Nos professeurs vous apprennent à résoudre ces exercices de suites en moins de 2 minutes.
Limite d’une suite numérique
La limite d’une suite décrit son comportement quand n tend vers +∞. Une suite peut converger vers un réel L, diverger vers +∞ ou −∞, ou diverger sans tendre vers l’infini (oscillation). Les outils pour déterminer une limite sont les opérations sur les limites, le théorème des gendarmes, les limites de suites de référence et le théorème de convergence monotone.
Représentation graphique
On représente une suite dans un repère en plaçant les points de coordonnées (n ; uₙ). Les points d’une suite arithmétique sont alignés sur une droite. Ceux d’une suite géométrique suivent une courbe exponentielle. Pour les suites récurrentes uₙ₊₁ = f(uₙ), on utilise le diagramme « en escalier » ou « en colimaçon » avec la courbe de f et la droite y = x.
Algorithme et suites
Les suites se prêtent naturellement à l’implémentation algorithmique. Un simple algorithme en boucle permet de calculer les termes successifs d’une suite définie par récurrence, de conjecturer sa limite ou de déterminer à partir de quel rang un terme dépasse un seuil donné. Ces exercices algorithmiques sont fréquents au baccalauréat.
Exercices corrigés
Exercice 1 :
La suite (uₙ) est définie par u₀ = 2 et uₙ₊₁ = uₙ/2 + 3. Calculer u₁, u₂, u₃.
Correction 1 :
u₁ = 2/2 + 3 = 4. u₂ = 4/2 + 3 = 5. u₃ = 5/2 + 3 = 5,5.
Exercice 2 :
Étudier le sens de variation de uₙ = n² − 5n.
Correction 2 :
uₙ₊₁ − uₙ = (n+1)² − 5(n+1) − n² + 5n = 2n − 4. Ce terme est positif pour n ≥ 2 et négatif pour n < 2. La suite est décroissante pour n ≤ 1 et croissante à partir de n = 2.
Exercice 3 :
Montrer que la suite uₙ = (2n + 1)/(n + 3) est croissante et majorée, puis déterminer sa limite.
Correction 3 :
uₙ₊₁ − uₙ = (2n+3)/(n+4) − (2n+1)/(n+3) = 5/((n+4)(n+3)) > 0, donc la suite est croissante. Par division, uₙ = (2 + 1/n)/(1 + 3/n) → 2. La suite est majorée par 2 et converge vers 2.
Vous avez bloqué sur ces exercices ?
Le niveau d’exigence des concours d’ingénieurs est bien supérieur à celui du bac. Mettez toutes les chances de votre côté avec les stages intensifs Cours Legendre.
Ce qu’il faut retenir
Les suites numériques sont définies de manière explicite ou par récurrence. Leur étude passe par le sens de variation, le caractère borné et la recherche de limite. Les suites arithmétiques et géométriques constituent les cas de référence. Pour aller plus loin, consultez nos articles sur la suite arithmétique, la suite géométrique, la limite d’une suite et le raisonnement par récurrence.
Le chapitre des suites est transversal : il mobilise le calcul algébrique, les inégalités, les limites et le raisonnement par récurrence. Un accompagnement régulier aide à articuler ces compétences entre elles et à développer la vision d’ensemble nécessaire pour traiter les problèmes de bac.