Raisonnement par récurrence : méthode, exemples et exercices corrigés
Katia EDWARD - 25/02/2026Qu’est-ce que le raisonnement par récurrence ?
Le raisonnement par récurrence est une technique de démonstration fondamentale en mathématiques. Il permet de prouver qu’une propriété est vraie pour tous les entiers naturels (ou à partir d’un certain rang) en s’appuyant sur un principe simple : si la propriété est vraie au départ et si elle se transmet d’un entier au suivant, alors elle est vraie pour tous les entiers.
Introduit en Terminale spécialité mathématiques, ce raisonnement est incontournable pour les suites numériques, les sommes, les divisibilités et le calcul matriciel.
C’est quoi la loi de la récurrence ?
La loi de la récurrence désigne le principe mathématique qui permet de valider une proposition pour tous les entiers naturels. Cette méthode repose sur un mécanisme logique simple : si vous pouvez démontrer qu’une propriété est vraie au départ et qu’elle se transmet automatiquement d’un entier au suivant, alors elle sera vraie pour tous les entiers.
Cours Legendre explique ce concept à travers l’analogie de l’escalier : gravir toutes les marches nécessite de pouvoir monter sur la première et de savoir passer de chaque marche à la suivante. Dans ce cas général, l’énoncé mathématique devient accessible même aux élèves qui découvrent cette notion.
Cette approche transforme des démonstrations complexes, comme prouver la somme des n premiers entiers, en raisonnements structurés et reproductibles.
Ne perdez plus de points bêtement sur l’hérédité
Avec un professeur particulier, apprenez à structurer votre hérédité exactement comme l’attendent les jurys des concours ingénieurs pour sécuriser tous vos points.
Quelles sont les trois grandes étapes du raisonnement par récurrence ?
Le principe de récurrence se décompose en trois étapes clairement identifiées, qui doivent toutes apparaître dans la rédaction.
- Initialisation : On vérifie que la propriété P(n) est vraie pour la première valeur de n (souvent n = 0 ou n = 1). C’est le point de départ, comparable au premier domino que l’on fait tomber.
- Hérédité : On suppose que P(n) est vraie pour un entier n fixé (c’est l’hypothèse de récurrence) et on démontre que P(n+1) est alors également vraie. C’est l’étape centrale et souvent la plus technique.
- Conclusion : On conclut que, par le principe de récurrence, P(n) est vraie pour tout entier n supérieur ou égal à la valeur initiale.
L’analogie des dominos est éclairante : l’initialisation garantit que le premier domino tombe, l’hérédité garantit que chaque domino entraîne le suivant, et la conclusion affirme que tous les dominos tombent.
Comment rédiger un raisonnement par récurrence ?
La rédaction doit être rigoureuse et structurée. Voici un modèle à suivre :
« On veut montrer par récurrence que pour tout entier n ≥ n₀, P(n) est vraie. »
« Initialisation : Vérifions P(n₀). [Calcul montrant que P(n₀) est vraie.] La propriété est donc initialisée. »
« Hérédité : Soit n ≥ n₀ un entier fixé. Supposons que P(n) est vraie (hypothèse de récurrence). Montrons que P(n+1) est vraie. [Démonstration utilisant l’hypothèse de récurrence.] Donc P(n+1) est vraie. »
« Conclusion : Par le principe de récurrence, P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n₀. »
Récurrence forte et double : passez au niveau supérieur
Les sujets de concours (CCINP, Mines, Centrale) se contentent rarement d’une récurrence basique. Pour ne pas rester bloqué(e) sur les suites imbriquées ou les récurrences fortes, faites-vous accompagner par un expert qui vous transmettra les bons réflexes de résolution.
Quelle est la formule de récurrence ?
Une formule de récurrence est une relation mathématique qui exprime chaque terme d’une suite en fonction des termes précédents. Elle prend généralement la forme :
u{n+1} = f(un) ou u{n+1} = f(un, u{n-1}, …)
Par exemple :
- u{n+1} = 2un + 1 (suite géométrico-arithmétique)
- u{n+1} = un + u{n-1} (suite de Fibonacci)
- u{n+1} = un² – 3 (suite définie par récurrence)
Cette formule permet de calculer tous les termes de la suite à partir des conditions initiales et constitue souvent la base des démonstrations par récurrence.
Exemple 1 : somme des n premiers entiers
Propriété P(n) : 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2.
Initialisation : Pour n = 1, le membre de gauche vaut 1 et le membre de droite vaut 1×2/2 = 1. P(1) est vraie.
Hérédité : Supposons P(n) vraie : 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2. Calculons 1 + 2 + … + n + (n+1). Par hypothèse de récurrence, cela vaut n(n+1)/2 + (n+1) = (n+1)(n/2 + 1) = (n+1)(n+2)/2. C’est bien P(n+1).
Conclusion : Par récurrence, la formule est vraie pour tout entier n ≥ 1.
Exemple 2 : inégalité avec l’exponentielle
Propriété P(n) : Pour tout n ≥ 0, eˣ ≥ 1 + x… Prenons plutôt : 2ⁿ ≥ n + 1 pour tout n ≥ 1.
Initialisation : Pour n = 1 : 2¹ = 2 ≥ 1 + 1 = 2. P(1) est vraie.
Hérédité : Supposons 2ⁿ ≥ n + 1. Alors 2ⁿ⁺¹ = 2 × 2ⁿ ≥ 2(n+1) = 2n + 2 ≥ (n+1) + 1 = n + 2 (car n ≥ 1 implique 2n + 2 ≥ n + 2). Donc P(n+1) est vraie.
Conclusion : Par récurrence, 2ⁿ ≥ n + 1 pour tout n ≥ 1.
Exemple 3 : divisibilité
Propriété P(n) : 3ⁿ − 1 est divisible par 2 pour tout n ≥ 0.
Initialisation : Pour n = 0 : 3⁰ − 1 = 0, qui est divisible par 2. P(0) est vraie.
Hérédité : Supposons que 3ⁿ − 1 = 2k pour un certain entier k. Alors 3ⁿ⁺¹ − 1 = 3 × 3ⁿ − 1 = 3(2k + 1) − 1 = 6k + 2 = 2(3k + 1). C’est bien un multiple de 2.
Conclusion : Par récurrence, 3ⁿ − 1 est divisible par 2 pour tout n ≥ 0.
Consolidez les fondations de votre année de prépa
Le raisonnement par récurrence est l’outil mathématique que vous utiliserez le plus jusqu’à vos concours. Ne laissez pas d’incertitudes s’installer sur les bases. Un suivi régulier en cours particuliers vous garantit un socle solide pour affronter les épreuves sereinement.
Erreurs fréquentes à éviter
L’erreur la plus courante est d’oublier l’initialisation. Sans elle, le raisonnement n’a aucune valeur : on pourrait « prouver » n’importe quelle propriété fausse. Une autre erreur fréquente est de confondre « supposer P(n) vraie » et « démontrer P(n) » : l’hypothèse de récurrence est une supposition temporaire, pas une preuve en elle-même. Enfin, il faut bien utiliser l’hypothèse de récurrence dans l’étape d’hérédité, et pas seulement effectuer un calcul indépendant.
Récurrence double
Certains problèmes nécessitent une récurrence double (ou récurrence forte) : on suppose P(k) vraie pour tout k ≤ n et on montre P(n+1). C’est le cas typique des suites récurrentes d’ordre 2 comme la suite de Fibonacci. L’initialisation doit alors vérifier P pour les deux premières valeurs.
Exercices d’entraînement
Exercice 1 :
Montrer par récurrence que pour tout n ≥ 1 : 1² + 2² + … + n² = n(n+1)(2n+1)/6.
Indication :
Initialiser en n = 1 (1 = 1×2×3/6 = 1). Pour l’hérédité, ajouter (n+1)² à l’hypothèse et factoriser.
Exercice 2 :
Montrer par récurrence que 4ⁿ − 1 est divisible par 3 pour tout n ≥ 1.
Résolution 2 :
Initialisation : 4¹ − 1 = 3, divisible par 3. Hérédité : 4ⁿ⁺¹ − 1 = 4 × 4ⁿ − 1 = 4(3k + 1) − 1 = 12k + 3 = 3(4k + 1). Conclusion par récurrence.
Ce qu’il faut retenir
Le raisonnement par récurrence repose sur trois étapes indissociables : initialisation, hérédité et conclusion. C’est un outil de démonstration universel pour les propriétés portant sur les entiers. Pour poursuivre, retrouvez nos articles sur les suites numériques, la suite arithmétique et le calcul matriciel.
La principale difficulté est souvent l’étape d’hérédité, qui demande de savoir manipuler l’hypothèse de récurrence dans un calcul. Un entraînement guidé sur des exercices de difficulté croissante permet d’acquérir ce savoir-faire méthodologique, décisif pour les épreuves du bac et au-delà.