Limite de fonction : cours complet, propriétés et exercices corrigés
Katia EDWARD - 25/02/2026Qu’est-ce que la limite de fonction ?
La limite de fonction est l’un des concepts les plus importants de l’analyse mathématique. Elle décrit le comportement d’une fonction lorsque la variable s’approche d’une valeur donnée ou tend vers l’infini. Étudiée en Terminale spécialité mathématiques, la notion de limite est le socle sur lequel reposent la continuité, la dérivation et le calcul intégral.
Ce cours vous guide à travers les définitions formelles, les limites usuelles, les opérations sur les limites, les formes indéterminées et les théorèmes de comparaison, avec des exercices progressifs corrigés.
Qu’est-ce que la limite d’une fonction ?
Intuitivement, dire que la limite de f(x) quand x tend vers a est égale à L signifie que les valeurs de f(x) se rapprochent de L aussi près qu’on le souhaite, à condition que x soit suffisamment proche de a. On note : lim(x→a) f(x) = L.
La définition formelle (dite « epsilon-delta ») précise cette idée : pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que si 0 < |x − a| < δ, alors |f(x) − L| < ε. Cette rigueur est indispensable en mathématiques supérieures, mais l’essentiel au lycée est de bien comprendre l’intuition derrière la notation.
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Limites finies et limites infinies
On distingue plusieurs types de limites selon la valeur vers laquelle tend x et le résultat obtenu. La limite peut être finie (f(x) se rapproche d’un nombre réel L) ou infinie (f(x) grandit ou diminue sans borne). On parle de limite en +∞, en −∞, ou en un point a du domaine de définition.
Par exemple, la fonction 1/x tend vers 0 quand x tend vers +∞, mais tend vers +∞ quand x tend vers 0 par valeurs positives. Ces deux comportements correspondent à une asymptote horizontale (y = 0) et une asymptote verticale (x = 0).
Limite à droite et limite à gauche
Lorsqu’on étudie la limite d’une fonction en un point a, il est parfois nécessaire de distinguer la limite à droite (x → a⁺) et la limite à gauche (x → a⁻). La fonction admet une limite en a si et seulement si ces deux limites existent et sont égales. Cette distinction est fondamentale pour les fonctions présentant un point de discontinuité.
Limites usuelles à connaître
Certaines limites reviennent systématiquement dans les exercices et doivent être connues par cœur. Quand x tend vers +∞ : les polynômes de degré n tendent vers +∞ ou −∞ selon le signe du coefficient dominant ; la fonction exponentielle eˣ tend vers +∞ ; le logarithme népérien ln(x) tend vers +∞ ; 1/x tend vers 0. Quand x tend vers 0 : ln(x) tend vers −∞ et eˣ tend vers 1.
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Opérations sur les limites
Lorsque les limites de deux fonctions f et g sont connues, on peut en déduire les limites de f + g, f × g, f/g et f ∘ g en appliquant des règles précises. La somme de deux limites finies L₁ et L₂ donne L₁ + L₂. Le produit donne L₁ × L₂. Le quotient donne L₁/L₂ à condition que L₂ ≠ 0.
Attention cependant : dans certains cas, ces règles ne permettent pas de conclure directement. On parle alors de formes indéterminées.
Les formes indéterminées
Il existe sept formes indéterminées classiques : « +∞ − ∞ », « 0 × ∞ », « ∞/∞ », « 0/0 », « 1∞ », « 0⁰ » et « ∞⁰ ». Face à une forme indéterminée, il faut transformer l’expression (factorisation, conjugaison, mise en facteur du terme dominant, utilisation de la croissance comparée) pour lever l’indétermination.
Par exemple, pour calculer lim(x→+∞) (x² − 3x + 1), on factorise par x² et on obtient x²(1 − 3/x + 1/x²). Comme les termes en 1/x tendent vers 0, la limite est +∞.
Théorèmes de comparaison
Quand les opérations classiques ne suffisent pas, on peut recourir aux théorèmes de comparaison. Le théorème des gendarmes (ou théorème d’encadrement) affirme que si g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) et que g et h tendent vers la même limite L, alors f tend aussi vers L. Le théorème de comparaison permet de conclure qu’une fonction tend vers +∞ si elle est minorée par une fonction qui tend elle-même vers +∞.
Croissance comparée
Les résultats de croissance comparée hiérarchisent les vitesses de croissance des fonctions usuelles. En +∞ : l’exponentielle l’emporte sur toute puissance de x, qui elle-même l’emporte sur le logarithme. Plus précisément : lim(x→+∞) eˣ/xⁿ = +∞ et lim(x→+∞) ln(x)/xⁿ = 0 pour tout n > 0. Ces résultats sont essentiels pour lever les formes indéterminées.
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Asymptotes et interprétation graphique
Les limites donnent des informations directes sur la courbe représentative d’une fonction. Si lim(x→+∞) f(x) = L, la droite y = L est une asymptote horizontale. Si lim(x→a) f(x) = ±∞, la droite x = a est une asymptote verticale. Ces asymptotes guident le tracé de la courbe et le tableau de variations.
Exercices corrigés
Exercice 1 :
Calculer lim(x→+∞) (2x³ − x + 5)/(x³ + 3x²).
Résolution 1 :
On factorise numérateur et dénominateur par x³ : (2 − 1/x² + 5/x³)/(1 + 3/x). Quand x → +∞, tous les termes en 1/x tendent vers 0, donc la limite est 2/1 = 2.
Exercice 2 :
Calculer lim(x→0⁺) x·ln(x).
Résolution 2 :
C’est une forme indéterminée « 0 × (−∞) ». Par croissance comparée, on sait que x·ln(x) tend vers 0 quand x tend vers 0⁺. On peut le démontrer en posant x = e⁻ᵗ avec t → +∞.
Exercices d’entraînement
Exercice 1 :
Calculer lim(x→+∞) (3x² + x − 1)/(x² − 4).
Correction 1 :
On divise par x² : (3 + 1/x − 1/x²)/(1 − 4/x²) → 3.
Exercice 2 :
Calculer lim(x→1) (x² − 1)/(x − 1).
Correction 2 :
Forme 0/0. On factorise : (x−1)(x+1)/(x−1) = x+1, donc la limite est 2.
Exercice 3 :
Calculer lim(x→+∞) eˣ − x².
Correction 3 :
Forme +∞ − ∞. On écrit eˣ − x² = eˣ(1 − x²/eˣ). Par croissance comparée, x²/eˣ → 0, donc la limite est +∞.
Ce qu’il faut retenir
L’étude des limites est une compétence incontournable pour tout le programme de Terminale et la suite des études. Elle demande de maîtriser les limites usuelles, les règles d’opérations et surtout les techniques de levée d’indétermination. Pour approfondir, consultez nos articles sur la limite d’une suite et la continuité des fonctions.
Ces notions peuvent sembler abstraites au premier abord, mais avec de la pratique régulière et un encadrement adapté, elles deviennent rapidement des automatismes. Un accompagnement ciblé permet souvent de débloquer la compréhension des formes indéterminées, qui est le point de difficulté le plus fréquent chez les élèves.
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Comment déterminer la limite d’une fonction ?
our déterminer la limite d’une fonction, plusieurs méthodes s’offrent à vous selon la situation rencontrée. Commencez par identifier le domaine de définition de votre fonction et le point où vous souhaitez calculer la limite.
Si vous étudiez le comportement aux bornes du domaine, examinez d’abord la limite à droite et la limite à gauche séparément. Ces deux limites doivent être égales pour que la limite existe au point considéré.
Appliquez ensuite les opérations sur les limites : limite d’une somme, limite d’un produit, limite d’un quotient. N’oubliez pas de vérifier la courbe représentative et le tableau de variations qui vous donnent des indications visuelles précieuses sur le comportement de votre fonction.
Pour les fonctions trigonométriques comme la fonction sinus, utilisez les limites usuelles. Lorsque vous travaillez avec des suites, rappelez-vous que pour tout entier naturel n, les règles de calcul restent identiques.
Qu’est-ce qu’une limite de fonction ?
Une limite d’une fonction représente la valeur vers laquelle tend cette fonction lorsque la variable se rapproche d’un point donné ou tend vers l’infini. Cette notion fondamentale vous permet de comprendre le comportement d’une fonction même aux points où elle n’est pas définie.
Concrètement, étudier la limite d’une fonction revient à observer sa courbe représentative et à déterminer vers quelle valeur elle se dirige. Cette analyse s’appuie sur le domaine de définition de la fonction et nécessite parfois de distinguer la limite à droite et la limite à gauche d’un point particulier.
Les limites vous aident également à construire le tableau de variations de votre fonction et à identifier ses asymptotes. Que vous calculiez la limite d’un produit ou d’autres opérations sur les limites, cette notion reste le pilier de l’analyse mathématique en Terminale.
Quelles sont les formes indéterminées en limite de fonction ?
Les formes indéterminées apparaissent lorsque les règles classiques des opérations sur les limites ne permettent pas de conclure directement sur la limite d’une fonction. Ces situations nécessitent des techniques particulières pour lever l’indétermination.
Les principales formes indéterminées que vous rencontrerez sont : « 0/0 », « ∞/∞ », « +∞ – ∞ », « 0 × ∞ », « 1^∞ », « 0^0 » et « ∞^0 ». Face à ces expressions, vous devrez transformer votre fonction par factorisation, conjugaison ou mise en facteur du terme dominant.
Pour résoudre ces indéterminations, analysez d’abord le domaine de définition et la courbe représentative de votre fonction. Examinez les limites à droite et limites à gauche si nécessaire, et utilisez les techniques appropriées selon que vous calculiez la limite d’un produit ou d’autres opérations.
Ces méthodes vous permettront de compléter efficacement votre tableau de variations et de maîtriser pleinement l’étude des fonctions, y compris des fonctions particulières comme la fonction sinus ou les fonctions définies sur les entiers naturels.