Calcul intégral : cours complet, méthodes et exercices corrigés
Katia EDWARD - 25/02/2026Qu’est-ce que le calcul intégral ?
Le calcul intégral est l’un des deux piliers de l’analyse (avec le calcul différentiel). Il permet de calculer des aires, des volumes, des moyennes et de résoudre des équations différentielles. Étudié en Terminale, il prolonge la notion de primitive et repose sur le lien fondamental entre dérivation et intégration.
Ce cours couvre les primitives, l’intégrale définie, les propriétés et les principales techniques de calcul.
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Qu’est-ce qu’une intégrale ?
L’intégrale d’une fonction f entre deux bornes a et b, notée ∫ₐᵇ f(x) dx, mesure l’aire sous la courbe de f entre x = a et x = b (avec un signe : positive au-dessus de l’axe des abscisses, négative en dessous). C’est l’opération inverse de la dérivation, dans le sens où intégrer revient à chercher une fonction dont la dérivée est f.
Changement de variable ou IPP : ne perdez plus de temps au brouillon
Face à une intégrale aux concours, le plus difficile est d’identifier la bonne méthode d’attaque du premier coup.
Un professeur particulier vous entraîne à repérer instantanément les « patterns » et les schémas classiques pour démarrer vos calculs sans aucune hésitation.
Les primitives
Une primitive de f sur un intervalle I est une fonction F telle que F'(x) = f(x) pour tout x dans I. Si F est une primitive de f, alors toute primitive de f s’écrit F(x) + C, où C est une constante réelle. Le théorème fondamental de l’analyse relie primitive et intégrale :
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)
Les primitives des fonctions usuelles doivent être connues : la primitive de xⁿ est xⁿ⁺¹/(n+1) (pour n ≠ −1), celle de 1/x est ln|x|, celle de eˣ est eˣ, celle de cos(x) est sin(x), celle de sin(x) est −cos(x).
Propriétés de l’intégrale
L’intégrale possède plusieurs propriétés essentielles. La linéarité permet de décomposer : ∫ₐᵇ (αf + βg) = α∫ₐᵇ f + β∫ₐᵇ g. La relation de Chasles relie trois bornes : ∫ₐᵇ f + ∫ᵇᶜ f = ∫ₐᶜ f. La positivité garantit que si f ≥ 0 sur [a ; b], alors ∫ₐᵇ f ≥ 0. Et l’inversion des bornes change le signe : ∫ₐᵇ f = −∫ᵇₐ f.
Calcul d’aire sous une courbe
Pour calculer l’aire entre la courbe de f et l’axe des abscisses sur [a ; b], on distingue les zones où f est positive et celles où f est négative. L’aire (toujours positive) est : A = ∫ₐᵇ |f(x)| dx. En pratique, on découpe l’intervalle aux zéros de f et on somme les valeurs absolues des intégrales sur chaque sous-intervalle.
Valeur moyenne d’une fonction
La valeur moyenne de f sur [a ; b] est le nombre : μ = (1/(b−a)) × ∫ₐᵇ f(x) dx. Géométriquement, c’est la hauteur du rectangle de base [a ; b] ayant la même aire que la surface sous la courbe.
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Calculer l’aire sous la courbe est une chose, justifier proprement l’existence de l’intégrale en est une autre. Les jurys des concours ingénieurs sont intraitables sur la rigueur.
Comment calculer une intégrale ?
Le calcul d’une intégrale suit une méthode systématique en plusieurs étapes. D’abord, identifiez le type de fonction à intégrer pour choisir la technique appropriée.
Étapes de base :
- Reconnaissance directe : Vérifiez si l’intégrande correspond à une formule d’intégrale connue (primitives usuelles)
- Simplification : Décomposez l’expression en utilisant la linéarité de l’intégrale
- Choix de la méthode : Primitives directes, intégration par parties, ou changement de variable
Méthodes principales :
- Primitives usuelles : Pour les fonctions continues élémentaires (polynômes, exponentielles, trigonométriques)
- Intégration par parties : Pour les produits de fonctions (∫ u’v = [uv] – ∫ uv’)
- Changement de variable : Pour transformer l’intégrale en une forme plus simple
Cas particuliers :
- Les intégrales définies se calculent avec les bornes : ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) – F(a)
- Pour les aires, utilisez ∫ₐᵇ |f(x)|dx en tenant compte des droites d’équation y = 0
Quelle est la différence entre calcul intégral et calcul différentiel ?
Le calcul différentiel et le calcul intégral sont deux branches complémentaires de l’analyse mathématique, formant ensemble le calcul infinitésimal.
Le calcul différentiel :
- Étudie les variations locales des fonctions
- Se concentre sur la dérivée f'(x) qui mesure le taux de changement instantané
- Applications : tangentes, vitesses, optimisation, étude de fonctions
Le calcul intégral :
- Étudie l’accumulation et la sommation de quantités
- Se concentre sur l’intégrale ∫f(x)dx qui mesure l’aire sous la courbe
- Applications : aires, volumes, valeurs moyennes, équations différentielles
Relation fondamentale :
Ces deux calculs sont inverses l’un de l’autre selon le théorème fondamental de l’analyse :
- La dérivée de l’intégrale redonne la fonction : d/dx[∫f(t)dt] = f(x)
- L’intégrale de la dérivée redonne la fonction : ∫f'(x)dx = f(x) + C
En résumé :
- Le calcul différentiel répond à « Comment ça varie ? »
- Le calcul intégral répond à « Combien ça accumule ? »
Cette dualité est essentielle pour comprendre les phénomènes physiques où vitesse (dérivée) et position (intégrale) sont liées.
L’analyse est le pilier de vos concours d’ingénieurs
Suites définies par des intégrales, sommes de Riemann, théorèmes de convergence… Le calcul intégral est omniprésent dans les sujets de concours (Mines, Centrale, CCINP, etc.).
Techniques d’intégration
Primitives directes
Quand on reconnaît directement la forme d’une primitive usuelle (par exemple u’eᵘ, u’/u, u’·uⁿ), on écrit la primitive sans calcul supplémentaire. C’est la méthode la plus rapide et celle à privilégier.
Intégration par parties
L’intégration par parties (IPP) est la technique complémentaire pour les produits de fonctions. Sa formule est : ∫ₐᵇ u’v = [uv]ₐᵇ − ∫ₐᵇ uv’. Elle est détaillée dans notre article dédié.
Les fonctions usuellement continues sont :
Changement de variable
Le changement de variable consiste à poser x = φ(t) pour simplifier l’intégrande. On remplace dx par φ'(t) dt et on adapte les bornes. Cette technique est surtout utilisée dans l’enseignement supérieur.
Exercices corrigés
Exercice 1 :
Calculer ∫₀² (3x² + 2x) dx.
Résolution 1 :
Une primitive est x³ + x². Donc ∫₀² = (8 + 4) − (0 + 0) = 12.
Exercice 2 :
Calculer ∫₁ᵉ (1/x) dx.
Résolution 2 :
La primitive de 1/x est ln(x). Donc ∫₁ᵉ = ln(e) − ln(1) = 1 − 0 = 1.
Exercice 3 :
Calculer l’aire sous la courbe de f(x) = x² − 1 sur [0 ; 2].
Résolution 3 :
f s’annule en x = 1. Sur [0 ; 1], f ≤ 0 : ∫₀¹ (x²−1) dx = [x³/3 − x]₀¹ = 1/3 − 1 = −2/3. Sur [1 ; 2], f ≥ 0 : ∫₁² (x²−1) dx = [x³/3 − x]₁² = (8/3 − 2) − (1/3 − 1) = 2/3 + 2/3 = 4/3. Aire totale = 2/3 + 4/3 = 2.
Ce qu’il faut retenir
Le calcul intégral repose sur la maîtrise des primitives et le théorème fondamental reliant intégrale et primitive. Ses applications vont du calcul d’aire à la valeur moyenne en passant par la résolution d’équations différentielles. Pour approfondir, consultez nos articles sur l’intégration par parties, sur comment calculer une intégrale et sur les équations différentielles.
La principale difficulté est de reconnaître la bonne technique face à un intégrande donné. Un entraînement régulier et un accompagnement structuré permettent de développer ce réflexe d’identification, crucial pour gagner du temps le jour de l’examen.
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Quelle est l’intégrale de 2x ?
L’intégrale de 2x se calcule en utilisant la formule des primitives usuelles. Pour une fonction de la forme ax^n, la primitive est (a/(n+1)) × x^(n+1) + C.
Pour 2x :
On a 2x = 2x¹
La primitive est : (2/(1+1)) × x^(1+1) = (2/2) × x² = x²
Donc :
Intégrale indéfinie : ∫ 2x dx = x² + C (où C est une constante)
Intégrale définie : ∫ₐᵇ 2x dx = [x²]ₐᵇ = b² – a²
Exemple concret : ∫₀³ 2x dx = [x²]₀³ = 3² – 0² = 9
Quelle est la formule du calcul intégral ?
La formule fondamentale du calcul intégral est donnée par le théorème fondamental de l’analyse :
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) – F(a)
Où :
f(x) est la fonction à intégrer
F(x) est une primitive de f(x), c’est-à-dire F'(x) = f(x)
a et b sont les bornes d’intégration
Cette formule permet de calculer l’intégrale définie
Formules complémentaires essentielles :
Linéarité : ∫ₐᵇ (αf(x) + βg(x)) dx = α∫ₐᵇ f(x) dx + β∫ₐᵇ g(x) dx
Relation de Chasles : ∫ₐᵇ f(x) dx + ∫ᵇᶜ f(x) dx = ∫ₐᶜ f(x) dx
Intégration par parties : ∫ₐᵇ u'(x)v(x) dx = [u(x)v(x)]ₐᵇ – ∫ₐᵇ u(x)v'(x) dx
Valeur moyenne : μ = (1/(b-a)) × ∫ₐᵇ f(x) dx
Ces formules constituent le socle du calcul intégral et permettent de résoudre la majorité des problèmes d’intégration rencontrés en Terminale.