Définition et reconnaissance d’un polynôme du second degré
Un polynôme du second degré (ou trinôme) en x est une expression de la forme ax² + bx + c avec a, b, c des coefficients réels et a ≠ 0. On parle aussi de fonctions polynômes du second degré lorsque l’on considère la fonction f(x) = ax² + bx + c et sa courbe représentative (une parabole).
La forme générale ax² + bx + c
La forme développée s’écrit ax² + bx + c. Les coefficients de l’équation ou coefficients de la fonction sont respectivement a (le coefficient du degré 2), b et c.
Coefficients et conditions d’existence
Pour être du second degré, il faut a ≠ 0. Si a = 0, on retombe sur le premier degré (droite). Quand on écrit Ax², on peut lire « A × x² » (noté parfois Ax dans certains manuels, au sens du produit « A × x » selon l’écriture choisie). Nos enseignants proposent un suivi régulier en maths pour consolider les bases et gagner en confiance.
Exemples concrets de polynômes du second degré
Exemple (exemple jaune)
f(x)=2x²-4x+1 → a=2, b=-4, c=1. (Exemple de la partie)
Exemple (exemple rouge)
g(x)=-x²+3x-5 → a=-1, b=3, c=-5.
Les trois formes essentielles du polynôme
Forme développée : expression complète
La forme ax² + bx + c est pratique pour lire directement les coefficients et calculer le discriminant.
Forme canonique : a(x – α)² + β
La forme canonique met en évidence le sommet de la parabole au point (α, β). Elle est idéale pour l’étude des variations et des extremums. (Écriture de la forme : f(x)=a(x-α)²+β)
Forme factorisée : a(x – x₁)(x – x₂)
Quand il existe, ce découpage utilise les racinesx₁ et x₂. Utile pour l’étude du signe d’un trinôme et la résolution des équations du second degré.
Comment trouver la forme canonique d’un polynôme ?
Méthode par complétion du carré
On réécrit ax² + bx + c en isolant a puis en complétant le carré :
f(x)=a\left[x²+\frac{b}{a}x\right]+c =a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)²-\left(\frac{b}{2a}\right)²\right]+c =a(x-α)²+β
avec α=-\frac{b}{2a} et β=f(α). On mobilise l’identité remarquable(x+p)²=x²+2px+p².
Formules directes avec alpha et bêta
α=-\frac{b}{2a} et β=f(α)=\frac{4ac-b²}{4a}. Remarque : ces expressions servent dans les méthodes de résolution graphiques.
Applications pratiques de la forme canonique
- Trouver le sommet(α,β) rapidement.
- Lire le sens de variation selon le signe de a.
- Optimisation simple en physique (portée maximale, énergie minimale, etc.).
Comment calculer le discriminant Δ d’un polynôme du second degré ?
Le discriminant de l’équationax²+bx+c=0 est Δ=b²-4ac. On parle aussi de discriminant réduit (noté δ) défini par δ=Δ/4=(\frac{b}{2})²-ac, parfois noté discriminant δ.
Résoudre une équation du second degré
Calcul du discriminant Δ
On calcule Δ=b²-4ac (ou δ=(\frac{b}{2})²-ac) pour choisir la méthode de résolution la plus efficace.
Formules des racines x₁ et x₂
- Si Δ>0 : x₁=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}, x₂=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a} → deux solutions distinctes.
- Si Δ=0 : x=\frac{-b}{2a} (solution double).
- Si Δ<0 : pas de solution réelle.
Cas particuliers selon le signe de Δ
Remarque : avec le discriminant réduitδ, on peut écrire x= \frac{-b\pm 2\sqrt{δ}}{2a}. Cas particulier utile quand b est pair.
Factoriser un polynôme du second degré
Conditions de factorisation dans ℝ
Dans ℝ, la factorisation en a(x-x₁)(x-x₂) est possible ssi Δ≥0. S’il existe une racine évidente (par inspection), on applique la méthode de la racine.
Techniques de factorisation rapide
- Méthode des racines évidentes : tester de petits entiers (−2, −1, 0, 1, 2…).
- Utiliser sommes et produits : x₁+x₂=-\frac{b}{a} ( propriété sur la somme ) et x₁x₂=\frac{c}{a} ( propriété du produit / produit des racines ).
- Repérer une identité remarquable (ex. (x+p)²).
Exemple
Factoriser x²-5x+6. On cherche deux nombres de somme5 et de produit6 : 2 et 3. Donc x²-5x+6=(x-2)(x-3). (méthode rapide)
Représentation graphique et parabole
Tracer une fonction polynôme du second degré
La courbe représentative d’une fonction f(x)=ax²+bx+c est une parabole. Repérez trois points : le sommet(α,β) et deux autres points symétriques par rapport à l’axe x=α.
Sommet, axe de symétrie et variations
L’axe de symétrie est x=α=-\frac{b}{2a}. Si a>0, la parabole est « ouverture vers le haut » (minimum en β). Si a<0, ouverture vers le bas (maximum en β).
Tableau de variation complet
| x | −∞ → α | α | α → +∞ |
|---|---|---|---|
| f(x) | Décroît | Extremum β | Croît |
Étude du signe d’un trinôme
Tableau de signes selon le discriminant
| Δ | Racines | Signe de f(x) |
|---|---|---|
| > 0 | x₁<x₂ | même signe que a hors [x₁,x₂], signe opposé de a sur (x₁,x₂) |
| = 0 | x₀ double | même signe que a sauf en x₀ (où f=0) |
| < 0 | aucune | toujours le signe de a |
Résolution d’inéquations du second degré
Méthodes de résolution rapide
On établit d’abord le tableau de signes via la forme factorisée si possible, sinon via le signe de Δ. Puis on lit l’intervalle des solutions (f(x)≥0 ou f(x)≤0). Cas particulier : si Δ<0, le signe est constant, la solution dépend uniquement du signe de a.
Techniques de mémorisation des formules
- Δ : pensez « b² – 4ac » ; le 4 rappelle les « 2 » de la formule des racines.
- Somme / produit des racines : x₁+x₂=-b/a et x₁x₂=c/a → propriété sur la somme et propriété sur le produit.
- Forme canonique : α=-b/(2a), β=f(α) ; la somme d’un terme et d’un carré apparaît via l’identité remarquable.
- Choisir la bonne méthode : discriminant, méthode de la racine (racine évidente), complétion du carré, ou passage direct par les propriétés somme/produit.
Remarque : adaptez la méthode aux nombres en jeu. Par exemple, si b est pair, préférez le discriminant réduitδ.
Exercices corrigés et applications
Problèmes types avec solutions détaillées
Exercice 1 — Résoudre une équation du second degré
Énoncé. Résoudre 2x²-4x-6=0.
Résolution.Δ=(-4)²-4×2×(-6)=16+48=64 → x₁=\frac{4-8}{4}=-1, x₂=\frac{4+8}{4}=3. Forme factorisée : 2(x+1)(x-3).
Vérification.x₁+x₂=2 = -b/a et x₁x₂=-3 = c/a ( produit des racines ).
Exercice 2 — Passer en forme canonique
Énoncé. Mettre f(x)=x²-6x+5 sous la forme a(x-α)²+β.
Solution.α=-\frac{b}{2a}=3, β=f(3)=9-18+5=-4. Donc f(x)=(x-3)²-4. Le sommet est (3,-4).
Exercice 3 — Inéquation et signe
Énoncé. Résoudre x²-5x+6 ≥ 0.
Solution. Factorisation : (x-2)(x-3). Le signe est celui de a=1 hors l’intervalle [2,3]. Donc x≤2 ou x≥3.
Applications concrètes en physique
La trajectoire d’un projectile (sans frottements) suit une parabole : l’altitude h(t) est un polynôme du second degré en t. Passer en forme canonique permet d’identifier le temps du maximum (sommet) et la valeur maximale. Cet exemple illustre la puissance des méthodes de résolution sans dérivées avancées.
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