Le carré d’un nombre : définition, calculs et applications avec Cours Legendre

Comprendre le carré d’un nombre en mathématiques

Une définition simple et claire

Le carré d’un nombre est le produit de ce nombre par lui-même. On le note a², ce qui signifie a × a. Cette opération simple permet de passer d’un nombre à une valeur appelée « carré ». Par exemple, 4² = 4 × 4 = 16. Elle est utilisée dès l’école primaire et reste centrale dans l’apprentissage des mathématiques, car elle intervient dans de nombreuses notions : aire du carré, identités remarquables, équations, fonctions, etc.

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La notation mathématique du carré

Le carré s’écrit à l’aide d’un exposant 2. Si x est un nombre, alors x² est son carré. Cette notation exponentielle signifie que x est multiplié deux fois par lui-même. Cela fait partie des puissances, avec l’exposant 2 appelé « puissance deux » ou « au carré ».

Exemple :
72=49
(−3)2=9

Les nombres parfaits et leurs propriétés

Un carré parfait est un entier naturel qui est le carré exact d’un autre entier. 1, 4, 9, 16, 25, 36… sont tous des carrés parfaits. Ils possèdent des propriétés intéressantes : ils ont toujours une racine carrée entière, leur factorisation contient toujours des exposants pairs, et ils apparaissent dans de nombreuses démonstrations en algèbre ou en géométrie.

Comment calculer le carré d’un nombre ?

La méthode de calcul pas à pas

Pour calculer un carré, il suffit d’appliquer une multiplication simple :
Nombre × lui-même.

Exemples :

• 62=6×6=36
• 112=11×11=121

Cette méthode est universelle, que le nombre soit entier, décimal, négatif, fractionnaire ou même irrationnel.

Les astuces de calcul mental

Il existe plusieurs astuces pour calculer rapidement certains carrés de tête, notamment avec des identités remarquables :

• (a+b)2=a2+2ab+b2
• (a−b)2=a2−2ab+b2

Par exemple, pour calculer 21² :
21=20+1
212=202+2×20×1+12=400+40+1=441

Ces techniques sont très utilisées en calcul mental ou dans les épreuves de mathématiques rapides.

Utiliser une calculatrice efficacement

Sur la plupart des calculatrices, il existe une touche « x² ». Il suffit d’entrer le nombre, puis de cliquer sur cette touche pour obtenir son carré. Cela évite les erreurs d’entrée et permet de gagner du temps, notamment lors de calculs avec des nombres à virgule ou complexes.

La table des carrés : un outil indispensable

Voici un tableau simple des carrés des nombres de 1 à 12, très utile pour s’entraîner ou pour vérifier un résultat.

Nombre	Carré
1	1
2	4
3	9
4	16
5	25
6	36
7	49
8	64
9	81
10	100
11	121
12	144

Les nombres pairs et impairs au carré

Le carré d’un nombre pair est toujours pair. Le carré d’un nombre impair est toujours impair.

Exemples :

• 42=16 (pair)
• 72=49 (impair)

Cette propriété est utile pour raisonner par parité et démontrer certaines règles.

Combien fait 5 au carré ?

Le carré de 5 est égal à 25, car 5 × 5 = 25. C’est un carré parfait, que l’on retrouve dans de nombreux exercices de mathématiques élémentaires.

Combien fait 8 au carré ?

Le carré de 8 est égal à 64, car 8 × 8 = 64. Ce résultat est aussi très fréquent, notamment dans les problèmes d’aires, de proportions ou d’équations quadratiques.

Les cas particuliers à maîtriser

Le carré d’un nombre négatif

Le carré d’un nombre négatif est toujours positif, car la règle des signes indique que :

(−a)×(−a)=a2

Exemple :

• (−6)2=36
• (−9)2=81

Cette règle est essentielle pour éviter les erreurs dans les calculs algébriques.

Le carré d’une fraction

Pour une fraction, il suffit d’élever le numérateur et le dénominateur au carré.

Exemple :

• (43​)2=169​

Ce type de calcul intervient souvent dans les exercices de proportionnalité ou de géométrie.

Les nombres irrationnels et complexes

On peut aussi élever au carré des nombres irrationnels comme 2​, ou des nombres complexes comme 3+2i. Dans ce cas, les règles de l’algèbre s’appliquent :

• (2​)2=2
• (3+2i)2=9+12i+4i2=9+12i−4=5+12i

Ces opérations sont abordées au lycée ou en enseignement supérieur.

Avec Cours Legendre, progressez en mathématiques

Comprendre la notion de carré est fondamental pour progresser en mathématiques. Que ce soit pour résoudre des équations, analyser une fonction carré, ou manipuler les identités remarquables, cette opération revient souvent. Grâce à un accompagnement personnalisé, les enseignants de Cours Legendre aident chaque élève à consolider ses bases, à acquérir des automatismes de calcul, et à prendre confiance dans ses capacités. Que l’on prépare un contrôle, un examen ou un concours, l’essentiel est de maîtriser ces notions clés avec rigueur et méthode.

Vous avez une question ? Nous sommes là pour vous aider

Un doute sur un calcul ? Une difficulté à comprendre une propriété ? Les équipes pédagogiques de Cours Legendre sont disponibles pour vous accompagner pas à pas dans votre apprentissage. Apprendre les mathématiques devient plus simple quand on est bien guidé.