Probabilités conditionnelles : cours, formules et exercices corrigés
Katia EDWARD - 25/02/2026Définition des probabilités conditionnelles
Les probabilités conditionnelles permettent de calculer la probabilité d’un événement sachant qu’un autre événement s’est déjà produit. Introduites en Première et approfondies en Terminale, elles sont au cœur des arbres pondérés, de la formule de Bayes et des problèmes de diagnostic.
Ce chapitre est incontournable au baccalauréat et prépare aux statistiques dans le supérieur.
N’hésitez pas à prendre des cours particuliers de maths via Cours Legendre.
Qu’est-ce qu’une probabilité conditionnelle ?
La probabilité conditionnelle de B sachant A, notée P(B|A) ou P_A(B), est la probabilité que l’événement B se réalise sachant que l’événement A est déjà réalisé. Sa formule est :
P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A)
à condition que P(A) > 0. Intuitivement, on restreint l’univers à l’événement A et on mesure la proportion de A qui est aussi dans B.
Exemple : On lance un dé équilibré. A = « obtenir un nombre pair » = {2, 4, 6} et B = « obtenir un nombre ≥ 4 » = {4, 5, 6}. P(A) = 1/2. P(A ∩ B) = P({4, 6}) = 1/3. Donc P(B|A) = (1/3)/(1/2) = 2/3.
Ne vous emmêlez plus les pinceaux face à l’énoncé
Formule de Bayes ou probabilités totales ? La difficulté est souvent de traduire l’énoncé en langage mathématique.
Avec l’aide d’un professeur particulier, apprenez à décrypter instantanément les sujets de concours pour ne plus jamais partir sur la mauvaise piste.
Probabilité de l’intersection
En réarrangeant la formule de définition, on obtient la formule de multiplication :
P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A)
C’est cette formule qu’on utilise en pratique pour calculer la probabilité que deux événements se produisent simultanément. Elle se lit directement sur les arbres pondérés : on multiplie les probabilités le long des branches.
Les arbres pondérés
L’arbre pondéré est la représentation visuelle la plus utilisée pour les probabilités conditionnelles. Chaque nœud correspond à une « étape » de l’expérience, et les branches portent les probabilités conditionnelles. Pour obtenir la probabilité d’un chemin complet, on multiplie les probabilités le long des branches. Pour obtenir la probabilité d’un événement, on additionne les probabilités de tous les chemins qui y mènent.
Deux règles structurent l’arbre : la somme des probabilités issues d’un même nœud vaut 1, et la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités de ses branches.
Formule des probabilités totales
Si les événements A₁, A₂, …, Aₙ forment une partition de l’univers (ils sont deux à deux incompatibles et leur réunion est l’univers entier), alors pour tout événement B :
P(B) = P(A₁)·P(B|A₁) + P(A₂)·P(B|A₂) + … + P(Aₙ)·P(B|Aₙ)
En pratique, la partition la plus fréquente est {A, Ā}. La formule devient : P(B) = P(A)·P(B|A) + P(Ā)·P(B|Ā). C’est la somme des probabilités de tous les chemins menant à B dans l’arbre.
Démarrez vos problèmes de probas sans hésiter
La clé d’un exercice de probabilités aux concours ingénieurs réside dans la modélisation initiale (comme la construction d’un arbre pondéré parfait) et une rédaction irréprochable.
Formule de Bayes
La formule de Bayes permet d’« inverser » un conditionnement : connaissant P(B|A), on calcule P(A|B). Elle s’écrit :
P(A|B) = P(A)·P(B|A) / P(B)
où P(B) se calcule souvent par la formule des probabilités totales. Cette formule est fondamentale en diagnostic médical, en contrôle qualité et en intelligence artificielle.
Indépendance de deux événements
Deux événements A et B sont indépendants si la réalisation de l’un n’influence pas la probabilité de l’autre : P(A ∩ B) = P(A) × P(B). De manière équivalente, P(B|A) = P(B). L’indépendance se vérifie par le calcul et ne se devine pas à l’intuition. Attention à ne pas confondre indépendance et incompatibilité : deux événements incompatibles (de intersection vide) ne sont jamais indépendants (sauf si l’un est impossible).
Exercices corrigés
Exercice 1 :
Une urne contient 3 boules rouges et 7 boules bleues. On tire deux boules successivement sans remise. Calculer la probabilité que les deux boules soient rouges.
Résolution 1 :
P(R₁) = 3/10. P(R₂|R₁) = 2/9. P(R₁ ∩ R₂) = (3/10) × (2/9) = 6/90 = 1/15.
Exercice 2 :
Un test de dépistage a une sensibilité de 95 % (P(+|M) = 0,95) et une spécificité de 90 % (P(−|M̄) = 0,90). La prévalence de la maladie est 1 % (P(M) = 0,01). Calculer P(M|+).
Résolution 2 :
P(+) = P(M)·P(+|M) + P(M̄)·P(+|M̄) = 0,01×0,95 + 0,99×0,10 = 0,0095 + 0,099 = 0,1085. Par Bayes : P(M|+) = 0,0095/0,1085 ≈ 0,088 soit environ 8,8 %. Malgré la bonne sensibilité du test, la faible prévalence fait que la plupart des positifs sont des faux positifs.
Exercice 3 :
A et B sont deux événements avec P(A) = 0,4, P(B) = 0,5 et P(A ∩ B) = 0,2. Sont-ils indépendants ?
Résolution 3 :
P(A) × P(B) = 0,4 × 0,5 = 0,2 = P(A ∩ B). Les événements sont indépendants.
Faites des probabilités un atout majeur pour vos concours
Souvent croisées avec l’algèbre linéaire ou l’analyse, les probabilités sont devenues décisives aux écrits des grandes écoles d’ingénieurs.
Ce qu’il faut retenir
Les probabilités conditionnelles reposent sur la formule P(B|A) = P(A∩B)/P(A). Les outils essentiels sont l’arbre pondéré, la formule des probabilités totales et la formule de Bayes. L’indépendance se vérifie par P(A∩B) = P(A)·P(B). Pour compléter, consultez nos articles sur la loi binomiale et la loi normale.
L’exercice de Bayes avec le test médical est un classique du bac qui déstabilise beaucoup d’élèves. La construction méthodique de l’arbre pondéré, étape par étape, permet de ne jamais se perdre. Un accompagnement personnalisé aide à acquérir cette rigueur méthodologique.