Loi normale : définition, propriétés, courbe de Gauss et exercices corrigés
Katia EDWARD - 25/02/2026Définition de la loi normale
La loi normale (ou distribution gaussienne) est la loi de probabilité la plus utilisée en statistiques et en sciences. Sa courbe en cloche, symétrique autour de la moyenne, modélise d’innombrables phénomènes naturels : tailles, poids, résultats d’expériences, erreurs de mesure. Étudiée en Terminale, elle est au cœur des tests statistiques, des intervalles de confiance et de l’approximation de la loi binomiale.
Qu’est-ce que la loi normale ?
Une variable aléatoire X suit une loi normale de paramètres μ (moyenne) et σ² (variance), notée X ~ N(μ, σ²), lorsque sa fonction de densité est définie par :
f(x) = (1 / (σ√(2π))) × exp(−(x − μ)² / (2σ²))
La courbe obtenue est la célèbre courbe de Gauss (ou courbe en cloche). Elle est symétrique par rapport à la droite x = μ, qui est aussi le maximum de la densité. Le paramètre σ (écart type) contrôle l’aplatissement : plus σ est grand, plus la courbe est étalée.
Comment calculer la loi normale ?
Le calcul avec la loi normale repose sur trois étapes essentielles que vous devez maîtriser :
1. Identifier les paramètres Déterminez la moyenne μ et la variance σ² (ou l’écart type σ) de votre loi normale. Ces paramètres définissent entièrement la distribution.
2. Standardiser la variable aléatoire Transformez votre variable aléatoire X en variable centrée réduite Z grâce à la formule : Z = (X – μ) / σ. Cette étape est cruciale car elle vous permet d’utiliser les tables de la loi normale standard.
3. Utiliser les tables ou calculatrices Consultez la table de la loi normale centrée réduite pour obtenir P(Z ≤ z). La fonction de densité ne possède pas de primitive simple, d’où l’importance de ces outils de calcul.
Pour calculer P(a ≤ X ≤ b), vous appliquez : P(a ≤ X ≤ b) = P((a-μ)/σ ≤ Z ≤ (b-μ)/σ). Les tables de la loi vous donnent directement ces probabilités.
Ces écoles vous font rêver ? Donnez-vous les moyens d’y entrer.
La loi normale est une notion incontournable des épreuves de mathématiques des concours d’ingénieurs (Avenir, Advance, Geipi Polytech…). Ne laissez pas ce chapitre vous faire perdre des points !
Pourquoi utilise-t-on la loi normale ?
La loi normale occupe une place centrale en statistiques pour plusieurs raisons fondamentales :
Modélisation des phénomènes naturels Elle décrit parfaitement de nombreux phénomènes naturels : tailles humaines, poids des objets manufacturés, erreurs de mesure, résultats de tests. Cette universalité en fait un outil indispensable.
Théorème central limite Lorsque vous additionnez un grand nombre d’expériences indépendantes, la somme tend vers une loi normale, quelle que soit la loi initiale. C’est pourquoi elle apparaît naturellement dans tant de situations.
Simplicité des calculs Grâce à la standardisation, tous les calculs se ramènent à une seule table. Vous n’avez besoin que de connaître la moyenne μ et la variance pour effectuer vos calculs de probabilités.
Approximation d’autres lois Elle permet d’approximer efficacement d’autres distributions comme la loi binomiale pour de grandes valeurs, simplifiant considérablement les tests statistiques.
Propriétés mathématiques remarquables Ses moments (espérance, variance) sont faciles à calculer, et la combinaison de variables normales indépendantes reste normale. Ces propriétés facilitent grandement les analyses statistiques avancées.
La loi normale centrée réduite
La loi normale centrée réduite est le cas particulier N(0, 1), c’est-à-dire μ = 0 et σ = 1. Elle est notée souvent Z. Toute variable normale X ~ N(μ, σ²) peut être ramenée à une variable centrée réduite par le changement : Z = (X − μ) / σ.
Cette standardisation est fondamentale car elle permet d’utiliser une unique table (la table de la loi normale centrée réduite) pour calculer les probabilités de n’importe quelle loi normale.
Comment lire une table de la loi normale ?
La table donne la valeur de P(Z ≤ z), c’est-à-dire la probabilité que la variable centrée réduite soit inférieure ou égale à z. Pour trouver P(Z ≤ 1,96), on cherche la ligne 1,9 et la colonne 0,06 : on lit 0,975. Par symétrie de la courbe : P(Z ≥ z) = 1 − P(Z ≤ z) et P(Z ≤ −z) = 1 − P(Z ≤ z).
Vous bloquez sur l’application des formules ?
Comprendre le cours est une chose, réussir les QCM des concours Puissance Alpha ou Avenir en est une autre.
Gagnez en rapidité et en méthode avec nos stages intensifs animés par des professeurs de l’Éducation nationale.
Règle empirique : 68-95-99,7
Pour toute loi normale, la probabilité que X se trouve dans un intervalle centré autour de la moyenne suit la règle suivante. Environ 68 % des valeurs se situent dans l’intervalle [μ − σ ; μ + σ]. Environ 95 % dans [μ − 2σ ; μ + 2σ]. Et environ 99,7 % dans [μ − 3σ ; μ + 3σ]. Cette règle est très utile pour une estimation rapide.
Comment reconnaître une loi normale ?
On peut suspecter une distribution normale lorsque les données sont symétriques autour de la moyenne et que la plupart des valeurs se concentrent près du centre avec des valeurs extrêmes rares. En pratique, on vérifie avec des tests statistiques (Shapiro-Wilk, Kolmogorov-Smirnov) ou graphiquement avec un diagramme quantile-quantile (QQ-plot).
Approximation de la loi binomiale par la loi normale
Lorsqu’une variable X suit une loi binomiale B(n, p) avec n suffisamment grand (en pratique np ≥ 5 et n(1−p) ≥ 5), on peut l’approcher par une loi normale N(np, np(1−p)). Cette approximation simplifie considérablement les calculs de probabilités pour de grands échantillons. C’est une application du théorème central limite.
Intervalles de confiance
La loi normale est au fondement de la construction des intervalles de confiance. Pour une moyenne estimée sur un échantillon de taille n, l’intervalle de confiance à 95 % est : [x̄ − 1,96 × σ/√n ; x̄ + 1,96 × σ/√n]. Le coefficient 1,96 provient directement de la loi normale centrée réduite (P(−1,96 ≤ Z ≤ 1,96) ≈ 0,95).
Prêt à assurer votre place en école d’ingénieurs ?
La majorité de ces écoles recrutent sur concours (Avenir, Puissance Alpha, Advance). Ne laissez rien au hasard.
Exercices corrigés
Exercice 1 :
X ~ N(50, 25) (donc σ = 5). Calculer P(X ≤ 58).
Correction 1 :
On centre et réduit : Z = (58 − 50)/5 = 1,6. Avec la table : P(Z ≤ 1,6) ≈ 0,9452.
Exercice 2 :
X ~ N(100, 225) (σ = 15). Calculer P(85 ≤ X ≤ 115).
Correction 2 :
P((85−100)/15 ≤ Z ≤ (115−100)/15) = P(−1 ≤ Z ≤ 1) = 2 × P(Z ≤ 1) − 1 ≈ 2 × 0,8413 − 1 = 0,6826 (environ 68 %, cohérent avec la règle empirique).
Exercice 3 :
Trouver la valeur z telle que P(Z ≤ z) = 0,99.
Correction 3 :
En lisant la table « à l’envers », on trouve z ≈ 2,33.
Ce qu’il faut retenir
La loi normale est caractérisée par sa courbe en cloche, sa moyenne μ et son écart type σ. La standardisation Z = (X − μ)/σ permet de ramener tout calcul à la loi centrée réduite. La règle 68-95-99,7 donne des repères immédiats. Pour poursuivre, consultez nos articles sur la loi binomiale et les probabilités conditionnelles.
La lecture des tables et le passage entre variable quelconque et variable centrée réduite sont souvent les points de blocage. Un entraînement guidé sur des exercices variés permet de maîtriser ces mécanismes et d’aborder les épreuves de statistiques avec confiance.