Probabilité : comprendre les calculs, formules et exercices

Qu’est-ce qu’une probabilité ?

Avant de plonger dans les calculs, il est crucial de comprendre de quoi on parle.

Définition simple

La probabilité est l’évaluation du degré de certitude qu’un événement se produise. C’est un nombre compris entre 0 et 1 (ou entre 0% et 100%) qui quantifie la chance qu’un résultat survienne lors d’une expérience aléatoire.

• Une probabilité de 0 signifie que l’événement est impossible.
• Une probabilité de 1 signifie que l’événement est certain.

Quelle est la différence entre probabilité et possibilité ?

C’est une confusion fréquente. La possibilité indique simplement que quelque chose peut arriver (c’est possible ou non). La probabilité mesure combien de chances cela a d’arriver.

• Exemple : Il est possible de gagner le gros lot à l’Euromillion, mais la probabilité est infime.

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Le vocabulaire indispensable à connaître

Pour réussir en mathématiques (de la 5ème à la Terminale), vous devez maîtriser le langage spécifique des probabilités.

• Expérience aléatoire : Une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat avec certitude (ex: lancer une pièce).
• Univers ($\Omega$) : L’ensemble de tous les résultats possibles (issues) d’une expérience. Pour un dé à 6 faces, l’univers est $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
• Événement : Une partie de l’univers. Par exemple, « obtenir un nombre pair ».
• Événement élémentaire : Un événement qui ne contient qu’une seule issue (ex: « obtenir un 4 »).
• Événement contraire : L’événement qui se réalise si l’événement A ne se réalise pas (noté $\bar{A}$).

Comment calculer une probabilité ? Les formules de base

La formule la plus célèbre, utilisée dans les cas d’équiprobabilité (où chaque issue a la même chance d’apparaître, comme un dé non truqué), est la suivante :

$$P(A) = \frac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre de cas possibles}}$$

Exemple concret : Le lancer de dé

Prenons un dé cubique classique à 6 faces.

• Question : Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre supérieur ou égal à 5 ?
• Cas possibles (Univers) : 6 (les chiffres 1, 2, 3, 4, 5, 6).
• Cas favorables : 2 (les chiffres 5 et 6).
• Calcul : $P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
• Résultat : Vous avez une chance sur trois.

L’union et l’intersection (Le « OU » et le « ET »)

Au lycée, les choses se corsent avec l’utilisation des ensembles.

• L’intersection ($A \cap B$) : L’événement A ET l’événement B se réalisent en même temps.
• L’union ($A \cup B$) : L’événement A OU l’événement B se réalise (ou les deux).

La formule clé à retenir pour calculer l’union est :

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$$

Astuce : Utilisez un diagramme de Venn pour visualiser ces ensembles et ne pas compter deux fois les éléments de l’intersection.

Outils visuels : Arbres de probabilité et tableaux

Pour résoudre des problèmes plus complexes, comme des tirages successifs, il est recommandé de modéliser la situation.

L’arbre de probabilité (ou arbre pondéré)

C’est l’outil roi au lycée. Il permet de visualiser une succession d’épreuves (ex: tirer une carte, puis une autre sans remise).

• Sur chaque branche, on inscrit la probabilité de l’événement correspondant.
• La somme des probabilités des branches partant d’un même nœud est toujours égale à 1.
• Pour calculer la probabilité d’un chemin complet (intersection), on multiplie les probabilités rencontrées sur les branches.

Le tableau de probabilités

Idéal pour les exercices de statistiques à deux variables, il permet de croiser les données (ex: probabilité d’être un garçon ET de porter des lunettes dans une classe).

Probabilités conditionnelles

En classe de Première et Terminale, on étudie la probabilité conditionnelle. Elle répond à la question : Quelle est la probabilité que B se réalise, SACHANT que A est déjà réalisé ?

On la note $P_A(B)$ et la formule est :

$$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$

Cela permet notamment d’utiliser la formule des probabilités totales pour calculer la probabilité d’un événement en additionnant les probabilités de tous les chemins menant à cet événement dans un arbre.

Exercice corrigé : Les boules dans l’urne

Pour vérifier que vous avez compris, voici un exercice classique.

Énoncé :

Une urne contient 10 boules : 5 rouges, 3 vertes et 2 bleues. On tire une boule au hasard.

1. Quelle est la probabilité de tirer une boule verte ?
2. Quelle est la probabilité de tirer une boule qui n’est pas bleue ?

Correction :

1. Calcul pour la boule verte :
   
   • Nombre total de boules (Univers) = $5 + 3 + 2 = 10$.
   • Boules vertes (Cas favorables) = 3.
   • $P(\text{Verte}) = \frac{3}{10} = 0,3$.
2. Calcul pour « pas bleue » :
   
   • On peut utiliser l’événement contraire.
   • $P(\text{Bleue}) = \frac{2}{10} = 0,2$.
   • $P(\text{Pas Bleue}) = 1 – P(\text{Bleue}) = 1 – 0,2 = 0,8$.
   • Autre méthode : On additionne les rouges et les vertes ($5+3=8$) sur le total ($10$), soit $\frac{8}{10}$.