Calcul matriciel : cours, opérations et exercices corrigés
Katia EDWARD - 23/02/2026Qu’est-ce que le calcul matriciel ?
Le calcul matriciel est une branche fondamentale de l’algèbre linéaire qui intervient partout : résolution de systèmes linéaires, transformations géométriques, analyse de données, informatique, physique. Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres qui obéit à des règles de calcul précises.
Ce cours couvre les définitions, les opérations, les propriétés et les exercices essentiels pour maîtriser ce chapitre.
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Qu’est-ce qu’une matrice ?
Une matrice de dimensions m × n est un tableau de m lignes et n colonnes contenant des nombres réels (ou complexes). L’élément situé à la i-ème ligne et la j-ème colonne est noté aᵢⱼ. Une matrice à n lignes et n colonnes est dite matrice carrée d’ordre n. Les principales matrices particulières sont la matrice nulle (tous les coefficients nuls), la matrice identité Iₙ (des 1 sur la diagonale, des 0 ailleurs), et les matrices diagonales et triangulaires.
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Comment calculer le produit matriciel ?
Le calcul du produit matriciel suit une méthode précise que vous devez maîtriser étape par étape. Pour multiplier deux matrices A et B, vérifiez d’abord que le nombre de colonnes de A égale le nombre de lignes de B. Dans ce cas, le produit AB est possible.
La formule du produit matriciel consiste à calculer chaque coefficient (AB)ᵢⱼ en multipliant les éléments de la i-ème ligne de A par les éléments correspondants de la j-ème colonne de B, puis en sommant ces produits. Cette méthode « ligne par ligne » contre « colonne par colonne » est fondamentale.
Concrètement, si A = [aᵢₖ] et B = [bₖⱼ], alors (AB)ᵢⱼ = Σₖ aᵢₖ × bₖⱼ. Cette équation vous permet de calculer systématiquement tous les coefficients du système résultant.
Cas particuliers importants :
- Le produit d’une matrice carrée par la matrice identité I donne la matrice originale : AI = IA = A
- Pour les matrices inversibles, AA⁻¹ = A⁻¹A = I
- Une matrice diagonale multipliée par une autre matrice simplifie considérablement les calculs
Comment calculer une formule matricielle ?
Une formule matricielle désigne une expression mathématique impliquant des opérations sur les matrices. Vous devez appliquer les théorèmes fondamentaux du calcul matriciel pour résoudre ces expressions complexes.
Les étapes pour calculer une formule matricielle :
- Identifiez les opérations : addition, multiplication, puissance, inverse
- Respectez l’ordre des opérations : les parenthèses d’abord, puis les puissances, enfin les produits
- Vérifiez la compatibilité des dimensions à chaque étape
- Appliquez les propriétés : associativité, distributivité (attention, pas de commutativité !)
Pour des formules impliquant la matrice inverse, vérifiez toujours que le déterminant est non nul. Les matrices inversibles permettent de résoudre des équations matricielles de type AX = B par X = A⁻¹B.
Conseil pédagogique : Décomposez les formules complexes en étapes intermédiaires. Cette méthode méthodique vous évitera les erreurs de calcul et vous permettra de maîtriser progressivement ces concepts essentiels de l’algèbre linéaire.
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Addition de matrices et multiplication par un scalaire
Deux matrices de même dimension s’additionnent coefficient par coefficient : (A + B)ᵢⱼ = aᵢⱼ + bᵢⱼ. La multiplication par un scalaire λ multiplie chaque coefficient : (λA)ᵢⱼ = λ × aᵢⱼ. Ces opérations sont commutatives et associatives.
Produit matriciel
Le produit matriciel AB est défini lorsque le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. Si A est de dimensions m × n et B de dimensions n × p, le produit AB est de dimensions m × p. Le coefficient (AB)ᵢⱼ se calcule par : (AB)ᵢⱼ = Σₖ aᵢₖ × bₖⱼ (somme des produits « ligne de A par colonne de B »).
Le produit matriciel est associatif ((AB)C = A(BC)) et distributif par rapport à l’addition, mais il n’est pas commutatif en général : AB ≠ BA. C’est une propriété essentielle à retenir qui distingue le calcul matriciel du calcul numérique ordinaire.
Exemple de produit matriciel
Soit A = [[1, 2], [3, 4]] et B = [[5, 6], [7, 8]]. Alors AB = [[1×5+2×7, 1×6+2×8], [3×5+4×7, 3×6+4×8]] = [[19, 22], [43, 50]].
Matrice inverse
Une matrice carrée A est dite inversible si il existe une matrice A⁻¹ telle que AA⁻¹ = A⁻¹A = Iₙ. La matrice inverse, quand elle existe, est unique. Pour une matrice 2×2, A = [[a, b], [c, d]], la matrice inverse est : A⁻¹ = (1/(ad−bc)) × [[d, −b], [−c, a]], à condition que ad − bc ≠ 0.
Pour les matrices de taille supérieure, on utilise la méthode du pivot de Gauss : on écrit [A|I] et on transforme A en I par opérations élémentaires ; la partie droite devient A⁻¹.
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Comment savoir si une matrice est inversible ?
Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Pour une matrice 2×2, det(A) = ad − bc. Pour une matrice 3×3, on développe selon une ligne ou une colonne (règle de Sarrus ou cofacteurs). Un déterminant nul signifie que les colonnes (ou les lignes) sont linéairement dépendantes.
Puissance d’une matrice
La puissance n-ième d’une matrice carrée A est le produit de A par elle-même n fois : Aⁿ = A × A × … × A (n facteurs). Par convention, A⁰ = Iₙ. Pour calculer Aⁿ efficacement quand n est grand, on peut utiliser la diagonalisation ou le binôme de Newton matriciel quand les matrices commutent.
Transposée d’une matrice
La transposée de A, notée Aᵀ, est obtenue en échangeant lignes et colonnes : (Aᵀ)ᵢⱼ = aⱼᵢ. La transposée d’un produit s’inverse : (AB)ᵀ = BᵀAᵀ. Une matrice est dite symétrique si A = Aᵀ.
Exercices corrigés
Exercice 1 :
Calculer le produit AB avec A = [[2, 1], [0, 3]] et B = [[1, 4], [2, −1]].
Résolution 1 :
AB = [[2×1+1×2, 2×4+1×(−1)], [0×1+3×2, 0×4+3×(−1)]] = [[4, 7], [6, −3]].
Exercice 2 :
Calculer l’inverse de A = [[3, 1], [5, 2]].
Résolution 2 :
det(A) = 6 − 5 = 1. A⁻¹ = (1/1) × [[2, −1], [−5, 3]] = [[2, −1], [−5, 3]]. Vérification : AA⁻¹ = I₂.
Exercice 3 :
A = [[1, 1], [0, 1]]. Calculer A², A³ et conjecturer Aⁿ.
Résolution 3 :
A² = [[1, 2], [0, 1]], A³ = [[1, 3], [0, 1]]. On conjecture Aⁿ = [[1, n], [0, 1]], démontrable par récurrence.
Ce qu’il faut retenir
Le calcul matriciel repose sur des règles spécifiques, notamment la non-commutativité du produit. Les opérations fondamentales (addition, produit, inverse, déterminant) permettent de résoudre des systèmes linéaires, de calculer des puissances et de modéliser des transformations. Pour approfondir, consultez nos articles sur le pivot de Gauss et les systèmes linéaires.
La multiplication matricielle et le calcul d’inverse sont souvent sources d’erreurs de calcul. Un entraînement méthodique, idéalement accompagné par un enseignant qui corrige en temps réel, permet de gagner en rapidité et en fiabilité sur ces opérations fondamentales.