Comment calculer une intégrale ? Guide pas à pas avec exemples corrigés
Katia EDWARD - 25/02/2026Qu’est-ce que le calcul d’une intégrale ?
Calculer une intégrale revient à trouver une primitive de la fonction à intégrer, puis à évaluer cette primitive aux bornes. C’est le théorème fondamental de l’analyse qui relie ces deux opérations. En pratique, selon la forme de l’intégrande, on choisit entre plusieurs techniques : primitive directe, intégration par parties ou changement de variable.
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Qu’est-ce qu’une intégrale ?
L’intégrale définie de f entre a et b, notée ∫ₐᵇ f(x) dx, représente l’aire sous la courbe de f entre les droites x = a et x = b (comptée algébriquement : positive au-dessus de l’axe des abscisses, négative en dessous). Si F est une primitive de f, alors :
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)
Tout le problème se ramène donc à trouver une primitive de f.
Méthode 1 : les primitives directes
C’est la méthode la plus rapide. On reconnaît dans l’intégrande la forme d’une primitive usuelle et on l’applique directement. Les primitives essentielles à connaître sont les suivantes : la primitive de xⁿ (n ≠ −1) est xⁿ⁺¹/(n+1), celle de 1/x est ln|x|, celle de eˣ est eˣ, celle de cos(x) est sin(x), celle de sin(x) est −cos(x).
Plus généralement, quand l’intégrande contient une fonction composée, on cherche à identifier les formes u’·eᵘ (primitive eᵘ), u’/u (primitive ln|u|) ou u’·uⁿ (primitive uⁿ⁺¹/(n+1)).
Exemple : ∫₀¹ 2x·eˣ² dx. On reconnaît la forme u’·eᵘ avec u = x² et u’ = 2x. La primitive est eˣ². Résultat : [eˣ²]₀¹ = e − 1 ≈ 1,72.
Méthode 2 : l’intégration par parties
L’intégration par parties est la technique de choix quand l’intégrande est un produit de deux fonctions de natures différentes (polynôme × exponentielle, polynôme × trigonométrique, logarithme × polynôme). La formule est :
∫ₐᵇ u’v = [uv]ₐᵇ − ∫ₐᵇ uv’
On choisit v comme la fonction qui se simplifie en dérivant (le logarithme népérien en priorité, puis les polynômes) et u’ comme la fonction dont on connaît une primitive.
Exemple : ∫₁ᵉ ln(x) dx. On pose u’ = 1 (donc u = x) et v = ln(x) (donc v’ = 1/x). IPP : [x·ln(x)]₁ᵉ − ∫₁ᵉ 1 dx = e − (e − 1) = 1.
Méthode 3 : le changement de variable
Le changement de variable consiste à poser x = φ(t) (ou t = ψ(x)) pour simplifier l’intégrande. On remplace dx par φ'(t) dt et on adapte les bornes. Cette technique est particulièrement utile pour les expressions contenant des racines carrées ou des fractions complexes.
Exemple : ∫₀¹ x/√(1 + x²) dx. On pose u = 1 + x², donc du = 2x dx. Quand x = 0, u = 1 ; quand x = 1, u = 2. L’intégrale devient ½ ∫₁² u⁻¹/² du = ½ [2√u]₁² = √2 − 1 ≈ 0,41.
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Comment choisir la bonne méthode ?
Face à une intégrale, le réflexe à développer est le suivant. D’abord, vérifier si l’intégrande correspond à une primitive directe ou à une forme composée (u’f(u)). Si oui, c’est la voie la plus rapide. Sinon, si l’intégrande est un produit de deux fonctions, tenter une intégration par parties. Enfin, si l’expression contient des racines ou des substitutions naturelles, envisager un changement de variable.
En cas de doute, tenter la primitive directe d’abord. Si cela ne fonctionne pas en quelques secondes, passer à l’IPP. Le changement de variable est en général la dernière option au lycée.
Propriétés utiles pour simplifier les calculs
Avant de se lancer dans une technique, il est parfois judicieux d’utiliser les propriétés de l’intégrale pour simplifier. La linéarité permet de décomposer une somme. La relation de Chasles permet de découper l’intervalle. Si la fonction est paire et l’intervalle symétrique [−a ; a], on a ∫₋ₐᵃ f = 2∫₀ᵃ f. Si la fonction est impaire, ∫₋ₐᵃ f = 0.
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Exercices corrigés
La continuité de fonction composée suit un théorème fondamental : si f est continue en a et g est continue en f(a), alors g∘f est continue en a.
Exercice 1 :
Calculer ∫₀³ (4x³ − 2x + 1) dx.
Correction 1 :
Primitive directe : F(x) = x⁴ − x² + x. F(3) − F(0) = 81 − 9 + 3 = 75.
Exercice 2 :
Calculer ∫₁² (2x)/(x² + 1) dx.
Correction 2 :
On reconnaît u’/u avec u = x² + 1. Primitive : ln(x² + 1). Résultat : ln(5) − ln(2) = ln(5/2) ≈ 0,92.
Exercice 3 :
Calculer ∫₀(π/2) x·cos(x) dx.
Correction 3 :
IPP avec v = x, u’ = cos(x). [x·sin(x)]₀(π/2) − ∫₀(π/2) sin(x) dx = π/2 − [−cos(x)]₀(π/2) = π/2 − (0 + 1) = π/2 − 1 ≈ 0,57.
Exercice 4 :
Calculer ∫₀¹ eˣ/(1 + eˣ) dx.
Correction 4 :
Forme u’/u avec u = 1 + eˣ. Primitive : ln(1 + eˣ). Résultat : ln(1 + e) − ln(2) ≈ 0,62.
Ce qu’il faut retenir
Calculer une intégrale repose sur l’identification de la bonne technique : primitive directe, IPP ou changement de variable. Le réflexe de reconnaissance des formes composées est la compétence clé à développer. Pour approfondir, consultez nos articles sur le calcul intégral et l’intégration par parties.
La vitesse d’identification de la méthode appropriée fait toute la différence le jour de l’examen. Un entraînement ciblé sur des intégrales variées, avec un retour immédiat sur les erreurs, permet d’acquérir cette fluidité indispensable.