Intégration par parties : formule, méthode et exercices corrigés
Katia EDWARD - 25/02/2026Qu’est-ce que l’intégration par parties ?
L’intégration par parties (souvent abrégée IPP) est l’une des techniques fondamentales du calcul intégral. Elle permet de calculer l’intégrale d’un produit de fonctions en transférant la dérivation d’un facteur à l’autre. Étudiée en Terminale et largement utilisée dans le supérieur, elle intervient dès qu’une primitive directe n’est pas identifiable.
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Quelle est la formule de l’intégration par parties ?
La formule d’intégration par parties s’écrit :
∫ₐᵇ u'(x)·v(x) dx = [u(x)·v(x)]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u(x)·v'(x) dx
L’idée est la suivante : on décompose l’intégrande en un produit u’·v, on calcule le crochet [uv] aux bornes, puis on soustrait une nouvelle intégrale ∫ u·v’ qui doit être plus simple que l’intégrale de départ. Si ce n’est pas le cas, il faut revoir le choix de u’ et v.
Comment faire une intégration par parties ?
L’intégration par parties suit une méthode systématique en plusieurs étapes. Voici la procédure complète pour réussir cette technique :
Étape 1 : Identifier le produit de fonctions
Vérifiez que l’intégrande se présente sous la forme d’un produit de deux fonctions de natures différentes (polynôme × exponentielle, logarithme × polynôme, etc.). Si ce n’est pas le cas, l’intégration par parties n’est pas la bonne méthode.
Étape 2 : Choisir u’ et v selon la méthode ALPES
La méthode ALPES est un moyen mnémotechnique efficace pour déterminer quelle fonction dériver (v) et laquelle intégrer (u’) :
- Arctangente
- Logarithme
- Polynôme
- Exponentielle
- Sinus/Cosinus
La fonction qui apparaît en premier dans cette liste devient v (à dériver), l’autre devient u’ (à intégrer).
Étape 3 : Calculer u et v’
Une fois le choix effectué :
- Calculez u en trouvant une primitive de u’
- Calculez v’ en dérivant v
Cette astuce permet d’éviter les erreurs : notez clairement qui est u, u’, v et v’ avant de commencer le calcul.
Étape 4 : Appliquer la formule d’intégration
Utilisez la formule d’intégration par parties : ∫ u'(x)·v(x) dx = u(x)·v(x) – ∫ u(x)·v'(x) dx
Attention au signe moins devant la seconde intégrale !Cette astuce permet d’éviter les erreurs : notez clairement qui est u, u’, v et v’ avant de commencer le calcul.
Étape 5 : Évaluer la nouvelle intégrale
Si ∫ u·v’ est plus simple que l’intégrale initiale, calculez-la directement. Sinon, appliquez une nouvelle intégration par parties ou reconsidérez votre choix initial.
Astuce pratique
Pour les intégrations par parties successives, utilisez la méthode tabulaire qui organise visuellement les dérivées et primitives successives, particulièrement efficace avec les polynômes de même degré.
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Comment choisir u’ et v ?
Le choix de la décomposition est la clé de la réussite d’une IPP. Le principe général est de choisir v comme la fonction qui se simplifie en dérivant et u’ comme la fonction dont on connaît une primitive. Un moyen mnémotechnique courant est la méthode ALPES, qui donne l’ordre de priorité pour le choix de v : Arctangente, Logarithme, Polynôme, Exponentielle, Sinus/Cosinus.
En pratique, quand l’intégrande contient un logarithme, on le choisit presque toujours comme v (car sa dérivée 1/x simplifie le calcul). Quand il contient un polynôme multiplié par une exponentielle ou une fonction trigonométrique, le polynôme est généralement v.
Exemple détaillé : ∫ x·eˣ dx
On veut calculer ∫₀¹ x·eˣ dx. On pose v(x) = x (qui se simplifie en dérivant : v'(x) = 1) et u'(x) = eˣ (dont une primitive est u(x) = eˣ).
Application de la formule : ∫₀¹ x·eˣ dx = [x·eˣ]₀¹ − ∫₀¹ 1·eˣ dx = (1·e¹ − 0·e⁰) − [eˣ]₀¹ = e − (e − 1) = 1.
Intégration par parties avec ln(x)
Le logarithme ne possède pas de primitive « simple » au sens usuel, mais sa dérivée est 1/x. On pose donc toujours v = ln(x) dans une IPP.
Exemple : Calculer ∫₁ᵉ ln(x) dx. On écrit ln(x) = 1 × ln(x). On pose u'(x) = 1 (donc u(x) = x) et v(x) = ln(x) (donc v'(x) = 1/x). On obtient : ∫₁ᵉ ln(x) dx = [x·ln(x)]₁ᵉ − ∫₁ᵉ x·(1/x) dx = (e·1 − 1·0) − ∫₁ᵉ 1 dx = e − (e − 1) = 1.
Double intégration par parties
Parfois, une seule IPP ne suffit pas et il faut en effectuer une seconde. C’est le cas typique de ∫ x²·eˣ dx : la première IPP réduit le degré du polynôme de 2 à 1, la seconde de 1 à 0.
Exemple : ∫ x²·eˣ dx. Première IPP avec v = x², u’ = eˣ : x²eˣ − ∫ 2x·eˣ dx. Seconde IPP sur ∫ 2x·eˣ dx avec v = 2x, u’ = eˣ : 2x·eˣ − ∫ 2eˣ dx = 2x·eˣ − 2eˣ. Au total : ∫ x²·eˣ dx = x²eˣ − 2xeˣ + 2eˣ + C = eˣ(x² − 2x + 2) + C.
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IPP circulaire avec les fonctions trigonométriques
Parfois, une seule IPP ne suffit pas et il faut en effectuer une seconde. C’est le cas typique de ∫ x²·eˣ dx : la première IPP réduit le degré du polynôme de 2 à 1, la seconde de 1 à 0.
Pour les intégrales du type ∫ eˣ·cos(x) dx, deux IPP successives ramènent à l’intégrale de départ. On obtient alors une équation du type I = … − I, qu’on résout pour trouver la valeur de I. Ce cas est fréquent en exercice et demande de ne pas s’arrêter après la deuxième IPP.
La méthode tabulaire
L’IPP tabulaire (ou méthode DI) est un raccourci visuel pour les IPP successives, particulièrement efficace quand l’un des facteurs est un polynôme. On dresse un tableau avec les dérivées successives de v dans une colonne et les primitives successives de u’ dans l’autre, en alternant les signes (+, −, +, −…). Le résultat est la somme des produits en diagonale.
Erreurs classiques à éviter
L’erreur la plus fréquente est un mauvais choix de décomposition qui complique l’intégrale au lieu de la simplifier. Si après l’IPP la nouvelle intégrale est plus complexe, il faut inverser le choix de u’ et v. Autre piège : oublier le signe moins devant la seconde intégrale ou mal évaluer le crochet [uv] aux bornes.
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Quand utiliser l’intégration par parties ?
L’IPP est indiquée quand l’intégrande est un produit de deux fonctions de « natures différentes » (polynôme × exponentielle, polynôme × trigonométrique, logarithme × polynôme) et qu’on ne reconnaît pas directement une forme u’·f(u). Si l’intégrande est une fraction rationnelle ou une expression avec des racines, le changement de variable est souvent plus adapté.
Exercices corrigés
La continuité de fonction composée suit un théorème fondamental : si f est continue en a et g est continue en f(a), alors g∘f est continue en a.
Exercice 1 :
Calculer ∫₀¹ x·cos(x) dx.
Correction 1 :
v = x, u’ = cos(x), donc v’ = 1, u = sin(x). IPP : [x·sin(x)]₀¹ − ∫₀¹ sin(x) dx = sin(1) − [−cos(x)]₀¹ = sin(1) − (−cos(1) + 1) = sin(1) + cos(1) − 1 ≈ 0,38.
Exercice 2 :
Calculer ∫₁ᵉ x·ln(x) dx.
Correction 2 :
v = ln(x), u’ = x, donc v’ = 1/x, u = x²/2. IPP : [x²ln(x)/2]₁ᵉ − ∫₁ᵉ x/2 dx = (e²/2 − 0) − [x²/4]₁ᵉ = e²/2 − (e²/4 − 1/4) = e²/4 + 1/4 = (e² + 1)/4.
Exercice 3 :
Calculer ∫₀π x²·sin(x) dx (par double IPP).
Correction 3 :
Première IPP : v = x², u’ = sin(x) → [−x²cos(x)]₀π + ∫₀π 2x·cos(x) dx = π² + ∫₀π 2x·cos(x) dx. Seconde IPP : v = 2x, u’ = cos(x) → [2x·sin(x)]₀π − ∫₀π 2sin(x) dx = 0 − [−2cos(x)]₀π = −(2 + 2) = −4. Résultat : π² − 4.
Ce qu’il faut retenir
L’intégration par parties transforme ∫ u’v en [uv] − ∫ uv’. Le choix de la décomposition est crucial : la méthode ALPES donne un ordre de priorité fiable. Pour les polynômes, la méthode tabulaire accélère les calculs. Pour compléter, consultez nos articles sur le calcul intégral et sur comment calculer une intégrale.
L’IPP est une technique qui s’acquiert par la pratique : chaque type d’intégrande demande un réflexe différent. Un accompagnement personnalisé permet de travailler systématiquement les cas classiques et d’acquérir la fluidité nécessaire pour les épreuves.