Théorème des valeurs intermédiaires : énoncé, démonstration et exercices corrigés
Katia EDWARD - 25/02/2026Qu’est-ce que le théorème des valeurs intermédiaires ?
Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) est l’un des résultats les plus utilisés de l’analyse en Terminale. Il permet de garantir l’existence de solutions à une équation du type f(x) = k en s’appuyant uniquement sur la continuité de la fonction. Simple dans son énoncé mais puissant dans ses applications, il est un passage obligé dans les sujets de bac.
Que dit le théorème des valeurs intermédiaires ?
Le TVI s’énonce ainsi : si f est une fonction continue sur un intervalle [a ; b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c dans [a ; b] tel que f(c) = k.
En termes simples : une fonction continue qui passe d’une valeur à une autre prend nécessairement toutes les valeurs intermédiaires. Si la courbe est « en dessous » à gauche et « au-dessus » à droite (ou inversement), elle doit croiser le niveau k quelque part entre les deux.
Interprétation graphique
Graphiquement, le TVI affirme que toute droite horizontale y = k, avec k entre f(a) et f(b), coupe la courbe de f au moins une fois sur [a ; b]. L’intuition est celle d’une courbe tracée sans lever le crayon : elle ne peut pas « sauter » par-dessus une valeur sans la prendre.
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Conditions d’application du TVI
Pour appliquer le TVI, deux conditions doivent être vérifiées. Premièrement, la fonction f doit être continue sur [a ; b]. Deuxièmement, la valeur k doit être comprise entre f(a) et f(b) (au sens large). Si l’une de ces conditions fait défaut, le théorème ne s’applique pas et la conclusion peut être fausse.
Le cas le plus fréquent en exercice est k = 0 : on montre que f(a) et f(b) sont de signes contraires, ce qui garantit l’existence d’au moins un zéro de f dans ]a ; b[.
Le corollaire du TVI (théorème de la bijection)
Le corollaire du TVI précise le résultat lorsque f est de plus strictement monotone sur [a ; b]. Dans ce cas, pour tout k entre f(a) et f(b), la valeur c telle que f(c) = k est unique. La fonction réalise alors une bijection de [a ; b] sur [f(a) ; f(b)] (ou [f(b) ; f(a)] si f est décroissante).
En pratique, on combine souvent le TVI avec l’étude du tableau de variations : si f est continue et strictement monotone sur un intervalle et que f change de signe, l’équation f(x) = 0 admet exactement une solution.
Quelle est la différence entre le théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire ?
La différence fondamentale entre le théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire réside dans les conditions d’application et la précision du résultat obtenu :
Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
- Conditions : La fonction f doit être continue sur l’intervalle [a ; b]
- Résultat : Garantit l’existence d’au moins une solution à l’équation f(x) = k
- Limitation : Ne donne aucune information sur l’unicité de la solution
Le corollaire du TVI (théorème de la bijection)
- Conditions : La fonction f doit être continue ET strictement monotone sur l’intervalle [a ; b]
- Résultat : Garantit l’existence d’une solution unique à l’équation f(x) = k
- Avantage : Précise que la solution est unique
En pratique
Avec le TVI seul : « Il existe au moins un réel c tel que f(c) = k »
Avec le TVI seul : « Il existe au moins un réel c tel que f(c) = k »
- Peut avoir plusieurs solutions
- Utile pour prouver qu’une équation a des solutions
Avec le corollaire du TVI : « Il existe un unique réel c tel que f(c) = k »
- Une seule solution garantie
- Permet de compter précisément le nombre de solutions
La condition supplémentaire de stricte monotonie (fonction strictement croissante ou strictement décroissante) est donc ce qui distingue le corollaire du théorème principal, en apportant la garantie d’unicité de la solution.
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Quelles sont les conditions pour utiliser le théorème des valeurs intermédiaires ?
Pour appliquer le théorème des valeurs intermédiaires, trois conditions essentielles doivent être réunies simultanément :
1. La fonction doit être définie sur un intervalle fermé [a, b]
La fonction f doit être définie sur un intervalle de la forme [a, b] où a et b sont des nombres réels finis. Cette notion de fonction définie sur un intervalle fermé est fondamentale car elle garantit que les bornes de l’intervalle appartiennent au domaine de définition.
2. La fonction doit être continue sur tout l’intervalle [a, b]
La continuité est la condition la plus importante. Une fonction continue sur [a, b] signifie qu’on peut tracer sa courbe représentative sans lever le crayon. Cette propriété de la valeur intermédiaire découle directement de la continuité : une fonction continue ne peut pas « sauter » par-dessus une valeur sans la prendre.
Les fonctions usuellement continues sont :
- Les fonctions polynômes
- Les fonctions exponentielles et logarithmes
- Les fonctions trigonométriques
- Les sommes, produits et composées de fonctions continues
3. La valeur k doit être comprise entre f(a) et f(b)
Pour chercher une solution à l’équation f(x) = k, la valeur k doit vérifier :
- f(a) ≤ k ≤ f(b) si f(a) ≤ f(b)
- f(b) ≤ k ≤ f(a) si f(b) ≤ f(a)
En d’autres termes, k doit être une valeur intermédiaire entre les images des bornes de l’intervalle. Cette condition assure que k se situe bien dans l’intervalle image [f(a), f(b)] ou [f(b), f(a)].
Cas particulier important : k = 0
Le cas le plus fréquent en exercice est la recherche de zéros de la fonction (k = 0). Dans ce cas, la condition devient :
- f(a) × f(b) < 0, ce qui signifie que f(a) et f(b) sont de signes contraires
Cette intuition géométrique est simple : si la courbe est positive d’un côté et négative de l’autre, elle doit forcément couper l’axe des abscisses quelque part entre les deux.
Attention aux pièges classiques
- Si la fonction n’est pas continue sur l’intervalle, le TVI ne s’applique pas
- Si k n’est pas compris entre f(a) et f(b), on ne peut rien conclure
- Si l’intervalle est ouvert ]a, b[, il faut adapter l’énoncé en utilisant les limites aux bornes
La vérification rigoureuse de ces trois conditions est indispensable avant toute application du théorème des valeurs intermédiaires.
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Attention aux pièges classiques
Comment rédiger une application du TVI ?
- Affirmer que f est continue sur [a ; b] (en justifiant : polynôme, fonction usuelle, etc.).
- Calculer f(a) et f(b) et constater que k est compris entre ces deux valeurs (ou que f(a) et f(b) sont de signes contraires si k = 0).
- Conclure : « D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un c dans [a ; b] tel que f(c) = k. »
- Si la fonction est strictement monotone sur [a ; b], ajouter : « De plus, f est strictement [croissante/décroissante] sur [a ; b], donc cette solution est unique. »
Lien avec la dichotomie
L’algorithme de dichotomie est une application numérique directe du TVI. Il permet d’approcher la solution c par encadrements successifs : on coupe l’intervalle [a ; b] en deux, on identifie dans quel sous-intervalle f change de signe, et on recommence. À chaque étape, la largeur de l’intervalle est divisée par 2, ce qui garantit une convergence rapide.
Exercices corrigés
La continuité de fonction composée suit un théorème fondamental : si f est continue en a et g est continue en f(a), alors g∘f est continue en a.
Exercice 1 :
Montrer que l’équation x³ − 2x − 5 = 0 admet une solution dans [2 ; 3].
Résolution 1 :
Soit f(x) = x³ − 2x − 5. La fonction f est continue sur [2 ; 3] (polynôme). f(2) = 8 − 4 − 5 = −1 < 0. f(3) = 27 − 6 − 5 = 16 > 0. Comme f(2) < 0 < f(3), le TVI garantit l’existence d’un c ∈ ]2 ; 3[ tel que f(c) = 0. De plus, f'(x) = 3x² − 2 > 0 pour x ≥ 1, donc f est strictement croissante sur [2 ; 3] : la solution est unique.
Exercice 2 :
Montrer que l’équation eˣ = 3x admet une solution dans [1 ; 2].
Résolution 2 :
Soit g(x) = eˣ − 3x. g est continue sur [1 ; 2]. g(1) = e − 3 ≈ −0,28 < 0. g(2) = e² − 6 ≈ 1,39 > 0. Par le TVI, il existe c ∈ ]1 ; 2[ tel que g(c) = 0, soit eᶜ = 3c.
Exercices d’entraînement
La continuité de fonction composée suit un théorème fondamental : si f est continue en a et g est continue en f(a), alors g∘f est continue en a.
Exercice 1 :
Montrer que l’équation cos(x) = x admet une solution dans [0 ; π/2].
Correction 1 :
Soit h(x) = cos(x) − x. h(0) = 1 > 0. h(π/2) = 0 − π/2 < 0. h est continue (somme de fonctions continues), donc par le TVI, il existe c ∈ ]0 ; π/2[ tel que cos(c) = c.
Exercice 2 :
Soit f(x) = x·ln(x) − 1 sur [1 ; e]. Montrer que f(x) = 0 admet une unique solution.
Correction 2 :
f(1) = 0 − 1 = −1 < 0. f(e) = e·1 − 1 = e − 1 > 0. f est continue sur [1 ; e]. f'(x) = ln(x) + 1 > 0 pour x ≥ 1, donc f est strictement croissante. Par le corollaire du TVI, la solution est unique.
Ce qu’il faut retenir
Le TVI garantit qu’une fonction continue prend toutes les valeurs intermédiaires. Combiné à la monotonie, il permet de prouver l’existence et l’unicité de solutions. C’est un outil incontournable au bac. Pour compléter, consultez nos articles sur la continuité des fonctions et les limites de fonctions.
La difficulté ne réside pas dans la compréhension du théorème lui-même mais dans la rigueur de rédaction exigée et dans l’identification du bon intervalle. Un entraînement guidé sur les exercices types du bac permet d’acquérir la méthodologie précise attendue par les correcteurs.