Continuité des fonctions : définition, propriétés et exercices corrigés
Katia EDWARD - 25/02/2026Qu’est-ce que la continuité ?
La continuité est une propriété fondamentale des fonctions qui, intuitivement, signifie que la courbe peut être tracée « sans lever le crayon ». Étudiée en Terminale, elle est le lien entre les limites de fonctions et la dérivation, et elle fonde le théorème des valeurs intermédiaires, outil essentiel pour prouver l’existence de solutions d’équations.
Qu’est-ce que la continuité d’une fonction ?
Une fonction f est continue en un point a si trois conditions sont réunies : f(a) existe, la limite de f(x) quand x tend vers a existe, et cette limite est égale à f(a). En notation : lim(x→a) f(x) = f(a). Si cette condition est vérifiée, la courbe ne présente ni saut, ni trou, ni asymptote verticale en a.
Une fonction est continue sur un intervalle I si elle est continue en chaque point de I. La plupart des fonctions usuelles (polynômes, fractions rationnelles sur leur domaine, fonctions trigonométriques, exponentielle, logarithme) sont continues sur leur domaine de définition.
Comment déterminer si une fonction est continue ?
Pour déterminer si une fonction est continue en un point, vous devez vérifier trois conditions essentielles :
1. La fonction est définie au point : f(a) doit exister 2. La limite existe : lim(x→a) f(x) doit exister et être finie 3. Égalité limite-valeur : lim(x→a) f(x) = f(a)
Dans la pratique, vous pouvez procéder ainsi :
- Cas des fonctions usuelles : les polynômes, fractions rationnelles (sur leur domaine), fonctions trigonométriques sont automatiquement continues
- Cas des fonctions définies par morceaux : vérifiez la continuité aux points de raccordement
- Cas des fonctions avec paramètres : calculez les limites à droite et à gauche
La notion de continuité s’appuie sur cette définition rigoureuse qui garantit l’absence de saut ou de trou dans la courbe représentative.
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Quels sont les trois types de fonctions ?
En matière de continuité, nous distinguons trois grandes catégories :
1. Les fonctions continues
- Polynômes sur ℝ
- Fonctions racine carrée sur [0, +∞[
- Fonctions trigonométriques sur leurs domaines respectifs
- Fonction exponentielle et logarithme
- Fonctions usuelles sur leur ensemble de définition
2. Les fonctions discontinues
- Fonction partie entière (discontinue en tout entier)
- Fonctions présentant des sauts ou des trous
- Fonction dérivable n’implique pas forcément la continuité de sa dérivée
3. Les fonctions à étudier au cas par cas
- Fonctions définies par morceaux
- Fonctions rationnelles (continues sauf aux zéros du dénominateur)
- Fonctions avec variable réelle et paramètres
Cette classification vous aide à identifier rapidement le type d’étude à mener selon la fonction rencontrée.
Comment montrer la continuité d’une fonction composée ?
La continuité de fonction composée suit un théorème fondamental : si f est continue en a et g est continue en f(a), alors g∘f est continue en a.
Méthode pratique :
- Identifiez les fonctions : décomposez votre fonction en f et g
- Vérifiez la continuité de f au point considéré
- Vérifiez la continuité de g en f(a)
- Concluez : la composée est continue
Exemple concret :
Pour h(x) = sin(x²), nous avons :
- f(x) = x² (continue sur ℝ)
- g(u) = sin(u) (continue sur ℝ)
- Donc h = g∘f est continue sur ℝ
Cette propriété s’étend aux espaces métriques et constitue un outil puissant pour démontrer la continuité de fonctions complexes sans calcul fastidieux de limites.
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Quelle est la définition de la continuité d’une fonction ?
La définition rigoureuse de la continuité d’une fonction f en un point a s’énonce ainsi :
f est continue en a si et seulement si lim(x→a) f(x) = f(a)
Cette définition équivaut à dire que pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que : |x – a| < δ ⟹ |f(x) – f(a)| < ε
Interprétation graphique : la courbe représentative se trace sans lever le crayon au point d’abscisse a.
Extensions importantes :
- Continuité globale : f est continue sur un intervalle I si elle est continue en tout point de I
- Limite à droite et limite à gauche permettent de définir la continuité latérale
- La continuité en un point garantit l’absence de point de discontinuité
Cette définition, bien maîtrisée, vous permet d’appliquer efficacement le théorème des valeurs intermédiaires et de résoudre les exercices de continuité avec rigueur.
Continuité à gauche et continuité à droite
En un point a, la continuité à droite signifie que lim(x→a⁺) f(x) = f(a), et la continuité à gauche que lim(x→a⁻) f(x) = f(a). La fonction est continue en a si et seulement si elle est continue à la fois à gauche et à droite en a. La fonction partie entière, par exemple, est continue à droite en chaque entier mais pas à gauche.
Point de discontinuité
Un point de discontinuité est un point où la fonction n’est pas continue. Il peut s’agir d’un saut (les limites à droite et à gauche existent mais sont différentes), d’un trou (la limite existe mais diffère de la valeur de la fonction, ou la fonction n’est pas définie), ou d’une divergence (la limite est infinie).
Le prolongement par continuité consiste à redéfinir la fonction en un point de discontinuité (de type « trou ») pour la rendre continue. Par exemple, la fonction f(x) = sin(x)/x n’est pas définie en 0, mais comme lim(x→0) sin(x)/x = 1, on peut la prolonger en posant f(0) = 1.
Opérations sur les fonctions continues
La somme, le produit, le quotient (si le dénominateur ne s’annule pas) et la composée de fonctions continues sont continues. Cela permet de démontrer la continuité de fonctions complexes en les décomposant en opérations élémentaires sur des fonctions dont la continuité est connue.
Le théorème des valeurs intermédiaires
Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) affirme que si f est continue sur un intervalle [a ; b], alors f prend toutes les valeurs comprises entre f(a) et f(b). En particulier, si f(a) et f(b) sont de signes contraires, il existe au moins un c dans ]a ; b[ tel que f(c) = 0. Ce théorème est l’outil principal pour démontrer l’existence de solutions d’équations du type f(x) = k.
Le corollaire (ou théorème de la bijection) précise que si f est de plus strictement monotone sur [a ; b], alors la valeur c est unique.
Caractérisation séquentielle de la continuité
En mathématiques supérieures, on utilise une caractérisation équivalente : f est continue en a si et seulement si pour toute suite (xₙ) convergeant vers a, la suite (f(xₙ)) converge vers f(a). Cette approche relie la continuité à l’étude des suites numériques et permet certaines démonstrations élégantes.
Exercices corrigés
La continuité de fonction composée suit un théorème fondamental : si f est continue en a et g est continue en f(a), alors g∘f est continue en a.
Exercice 1 :
La fonction f est définie par f(x) = (x² − 4)/(x − 2) pour x ≠ 2. Peut-on la prolonger par continuité en 2 ?
Correction 1 :
f(x) = (x−2)(x+2)/(x−2) = x + 2 pour x ≠ 2. Donc lim(x→2) f(x) = 4. On peut prolonger f en posant f(2) = 4.
Exercice 2 :
Montrer que l’équation x³ + x − 1 = 0 admet une solution dans [0 ; 1].
Correction 2 :
Soit f(x) = x³ + x − 1. f est continue sur [0 ; 1] (polynôme). f(0) = −1 < 0 et f(1) = 1 > 0. Par le TVI, il existe c ∈ ]0 ; 1[ tel que f(c) = 0.
Exercice 3 :
La fonction f est définie par f(x) = x² pour x < 1 et f(x) = 2x − 1 pour x ≥ 1. f est-elle continue en 1 ?
Correction 3 :
lim(x→1⁻) f(x) = 1² = 1. f(1) = 2×1 − 1 = 1. Les deux valeurs coïncident, donc f est continue en 1.
Ce qu’il faut retenir
La continuité garantit l’absence de rupture dans la courbe d’une fonction. Elle se vérifie en confrontant la valeur de la fonction à sa limite. Le TVI est son application phare : il prouve l’existence de solutions. Pour compléter, consultez nos articles sur les limites de fonctions et le théorème des valeurs intermédiaires.
Savoir rédiger correctement une application du TVI est un attendu récurrent au baccalauréat. Un accompagnement personnalisé aide à intégrer la rigueur de rédaction nécessaire et à éviter les oublis classiques (vérification de la continuité, signe de f(a) et f(b)).