Qu’est-ce que le nombre d’or et quelle est sa valeur ?

Définition mathématique de la divine proportion, à quoi sert-il ?

Dans une figure géométrique (par exemple un segment), on dit qu’il y a nombre d’or quand le rapport entre la longueur totale et la plus grande partie est égal au rapport entre la plus grande partie et la plus petite. Autrement dit, on partage une longueur suivant une moyenne raison particulière. Cette idée de proportion conduit à des composition équilibrées utiles en design (mise en page, design de site web, design de site) et en architecture. Gagnez en assurance grâce à un tutorat de maths sur-mesure et des objectifs clairs.

Valeur numérique et symbole phi (φ)

On note le nombre d’or par phi : φ ≈ 1,618 033 988… Sa particularité est de vérifier une relation simple : φ² = φ + 1. On dit que c’est un nombre irrationnel : il ne peut pas s’écrire comme le rapport de deux entiers relatifs, ce qui entraîne des preuves du caractère irrationnel classiques en cours.

Propriétés fondamentales du rapport d’or

• Invariance du rapport lors d’un découpage “à la Euclide” (le fameux euclide découpage).
• Liens étroits avec la suite de Fibonacci et la spirale d’or.
• Apparitions comme section dorée dans diverses figures géométriques : pentagone régulier, triangles d’or, pavage de Penrose.
• Usage courant pour créer un design équilibré ou évaluer des critères de beauté (avec nuance : la présence omniprésente du nombre d’or est parfois un phénomène exagéré).

Histoire fascinante du nombre d’or

Des pyramides d’Égypte à Euclide

On lit souvent que la pyramide de Khéops suivrait la section dorée : c’est une idée séduisante mais discutée. La première mention rigoureuse apparaît chez Euclide (Euclide d’Alexandrie, mathématicien grec), vers le III^e siècle J.-C (éléments, géométrie grecque, géométrie grec classique) quand il formalise le partage d’un segment en moyenne et extrême raison.

Renaissance et « De Divina Proportione »

À la Renaissance, Luca Pacioli publie De Divina Proportione (1509). Léonard de Vinci illustre l’ouvrage et popularise la « divine proportion ». Son célèbre Homme de Vitruve alimente l’idée de beauté mesurable à travers les proportions du corps humain.

XIXe siècle : naissance du mythe moderne

Au XIX^e siècle, le philosophe allemand Adolf Zeising, puis le prince roumain Matila Ghyka au XX^e siècle, renforcent la réputation quasi universelle du nombre d’or. Certaines thèses du siècle précédent en ont tiré des preuves de supériorité culturelle discutables : un bon sujet pour développer l’esprit critique avec les élèves.

Formule et calculs du nombre d’or

Équation fondamentale : φ² = φ + 1

Si φ est le ratio d’or, alors φ² = φ + 1. On en déduit l’équation du second degré : φ² − φ − 1 = 0, dont la solution positive vaut φ = (1 + √5)/2.

Construction géométrique du rectangle d’or

1. Tracer un carré de côté 1.
2. Placer le milieu d’un côté, tracer le segment vers un sommet opposé.
3. Avec ce segment comme rayon, tracer un arc qui prolonge la base : la longueur totale devient φ.
4. Compléter le rectangle d’or (définition en géométrie fondée sur le rapportφ).

Méthodes de calcul pratiques

• Itération rapide : partir de 1 et appliquer x ← 1 + 1/x ; la suite converge vers φ.
• Rapports de Fibonacci : voir ci-dessous (présence de la suite).

Suite de Fibonacci et nombre d’or

Lien mathématique entre les deux concepts

La suite de Fibonacci(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …) est définie par la somme des deux termes précédents ; le rapport entre chaque terme consécutif tend vers φ. C’est une présence célèbre du nombre d’or en arithmétique.

Convergence vers phi dans la suite

Numériquement, les quotients Fn+1/Fn approchent φ : 2/1 = 2, 3/2 = 1,5, 5/4 = 1,25, 8/5 = 1,6, etc. On parle de valeur approximative car l’irrationnel phi n’est jamais atteint exactement.

Applications en arithmétique

• Estimer rapidement des rapports : le rapportFn+1/Fn donne un bon ordre de grandeur.
• Comprendre des diagrammes côte-à côte de croissance (réseaux, populations) : la présence de la suite illustre une dynamique simple.

Le nombre d’or dans la nature

Spirales des coquillages et galaxies

Certaines spirales (coquillages, cyclones, galaxies) ressemblent à la spirale d’or. Il s’agit de phénomènes naturels où des lois de croissance logarithmique produisent des formes proches, sans exigence stricte du φ parfait.

Proportions du corps humain

Des Œuvres d’art comme l’Homme de Vitruve popularisent l’idée que Platon et d’autres philosophes admiraient des proportions « idéales ». Cette idée de beauté n’est pas une loi absolue : c’est un repère utile pour discuter des critères de beauté et des mesures sur le corps humain.

Phyllotaxie des plantes et tournesols

La disposition des feuilles et les graines de tournesol s’organisent suivant des motifs proches des nombres de Fibonacci. On retrouve parfois cette présence dans la nature sur une pomme de pin : les spires comptées offrent un rapport voisin d’un quotient de Fibonacci.

Applications artistiques et architecturales

Parthénon et architecture antique

Le Parthénon est souvent cité ; la conformité exacte au φ reste débattue. Cette controverse est utile pour montrer l’importance de la preuve et des mesures fiables, plutôt que le préjugé pythagoricien selon lequel toute beauté découle d’un seul nombre.

Léonard de Vinci et l’Homme de Vitruve

Mathématicien grecVitruve inspire Léonard de Vinci ; l’Homme de Vitruve met en scène des rapports corporels, évocateurs de la divine proportion.

Art moderne : Dalí et Le Corbusier

Salvador Dalí exploite des rectangles proches du rectangle d’or. Côté architecture, l’Architecture de Le Corbusier s’appuie sur le Modulor, un système de proportions dialoguant avec φ. Or quelques artistes s’en servent comme guide, pas comme dogme.

Nombre d’or en design et photographie

Règle des tiers et composition

En photo, la règle des tiers est un raccourci pratique de la section dorée pour obtenir des composition équilibrées. On peut aussi utiliser la spirale d’or comme guide de cadrage.

Logos et mise en page graphique

Certaines identités visuelles s’inspirent de rectangles dorés. Un exemple pédagogique consiste à analyser le logo de National Geographic (un rectangle simple dont le rapport peut approcher φ selon les versions). Dans le web, viser un design équilibré et lisible prime sur la poursuite aveugle d’un nombre.

Spirale dorée en photographie

Superposer une spirale logarithmique à l’image aide à placer le sujet ; l’angle d’or (≈ 137,5°) intervient aussi comme écart optimal entre éléments répétés (ex. feuilles autour d’une tige).

Exercices pratiques et dessins

Tracer un rectangle d’or étape par étape

Construire la spirale de Fibonacci

Exemples concrets de calculs

Astuce : demandez à votre enfant de réaliser deux mises en page et de mesurer le rapportentre longueur et largeur ; comparer la lisibilité des diagrammes côte à côte et la sensation de design équilibré.

Angles et figures reliés

Dans le pentagone régulier, les diagonales se coupent suivant φ, et les triangles d’or apparaissent naturellement. L’angle d’or (≈ 137,5°) intervient en phyllotaxie. Ces faits relèvent de la géométrie classique et de l’observation des phénomènes naturels.

Idées reçues : faire la part des choses

Le nombre d’or n’est pas une baguette magique. Il a une présence réelle en maths et dans certains processus de croissance, mais son usage en art dépend des choix des artistes. Gardons un regard critique : la beauté n’est pas réductible à un seul rapport.

Pour aller plus loin : explorer les mosaïques quasi-périodiques (pavage de Penrose), ou les constructions « à la Euclide vers l’an -300 », utiles pour des projets de classe.

Applications rapides en classe

• Analyser un magazine ou une affiche : mesurer le rapport hauteur/largeur, discuter des choix de design.
• Refaire une page web en deux variantes (design de site web) et comparer l’ergonomie.
• Comparer règle des tiers et section dorée sur des photos de famille.

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Du collège au lycée : nombres irrationnels, équations du second degré, rapport entre longueur, rapport de ce tableau, liens avec la suite de Fibonacci… Nos professeurs adaptent la pédagogie aux besoins réels (pas de dimension mystique, mais des méthodes solides).

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Compléments & repères

• Section dorée : autre nom du nombre d’or.
• Modèles historiques : du mathématicien grec Euclide à la Renaissance (Pacioli), jusqu’à l’art moderne (Salvador Dalí).
• Icônes visuelles : Parthénon (débat), logo de National Geographic (lecture de rapport simple), œuvres d’art variées.

Note culturelle : des idées très anciennes (Pythagoriciens) aux interprétations modernes, l’histoire du nombre d’or illustre comment une idée mathématique peut voyager d’un champ à l’autre.