Le losange : définition, propriétés et calculs essentiels

Définition du losange : un losange est un quadrilatère dont les côtés sont tous de même longueur. Autrement dit, c’est un parallélogramme particulier, avec des côtés de même longueur deux à deux (et même tous les quatre). Préparez le brevet ou le bac avec un programme de remise à niveau en mathématiques.

Pourquoi c’est utile pour votre enfant ? Parce que le losange regroupe des propriétés géométriques distinctives qui simplifient les exercices : côtés consécutifs égaux, angles consécutifs liés, diagonales perpendiculaires et axes de symétrie faciles à repérer.

Mots-clés intégrés : Losange, Propriété, Parallélogramme, Propriétés du parallélogramme, Diagonales du losange, Angles, Côtés, Quadrilatère.

Définition du losange et place dans les quadrilatères

Dans la « famille » des quadrilatères, le losange est un parallélogramme (ses côtés opposés sont parallèles). Il partage donc toutes les propriétés du parallélogramme (côtés opposés parallèles et de même longueur, angles opposés égaux, diagonales qui se coupent en leur milieu) et il ajoute une propriété clé : les longueurs des côtés sont toutes égales. C’est ce qui en fait un losange particulier au sein des parallélogrammes pour les besoins scolaires.

Quelles sont les propriétés d’un losange ?

En résumé, le losange est une figure importante en géométrie plane : « Losange une figure importante, losange 💠 les diagonales » résume bien l’idée—ses diagonales gouvernent la plupart des raisonnements et calculs.

Caractéristiques des côtés et angles

Notons notre quadrilatère ABCD (on parlera aussi de quadrilatère abcd ou losange abcd). Par définition, AB = BC = CD = DA. Les angles d’un losange respectent :

• Les angles opposés sont égaux : ∠A = ∠C et ∠B = ∠D.
• Les angles consécutifs sont supplémentaires : ∠A + ∠B = 180°.

Cas particulier : si une diagonale partage un angle en deux, elle bissecte l’angle. Dans un exercice, on utilise souvent les segments AB (Ab) et AC (Ac) pour exprimer des égalités d’angles et de longueurs.

Propriétés des diagonales et symétries

Appelons AC et BD les deux diagonales du losange. Elles possèdent des propriétés supplémentaires : les diagonales sont :

• Perpendiculaires (elles forment un angle droit) ;
• Médiatrices l’une de l’autre (elles se coupent à leur milieu) ;
• Axes de symétrie de la figure.

Leur point d’intersection O est le centre du losange. On parle parfois de la diagonale BD (ou Bd) et de la diagonale AC (ou Ac) selon les notations utilisées.

Les angles d’un losange sont-ils égaux ?

Oui et non : dans un losange, les angles opposés sont égaux (A = C, B = D), mais les angles consécutifs ne sont pas égaux en général ; ils sont supplémentaires. Ils ne sont tous égaux que dans le cas où chaque angle vaut 90° : on obtient alors un carré, qui est un losange particulier avec quatre angles droits.

Calculs d’aire et formules du parallélogramme / losange

Deux formules simples à connaître pour l’aire de ces losanges :

• Avec les diagonales : A = (AC × BD) / 2
• Avec un côté et la hauteur : A = côté × hauteur (comme pour un parallélogramme)

Exemple de losange : si AC = 8 cm et BD = 6 cm, alors A = (8 × 6) / 2 = 24 cm².

Astuce parent : invitez votre enfant à repérer d’abord les diagonales AC (Ac) et BD (Bd). Une fois les deux longueurs connues, le calcul de l’aire est immédiat.

Comment démontrer qu’un quadrilatère est un losange ?

Plusieurs stratégies sont possibles pour un quadrilatère quelconque :

• Montrer que c’est un parallélogrammeet que deux côtés consécutifs sont égaux → alors les quatre côtés sont égaux.
• Montrer que les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu → c’est un losange.
• Montrer que les diagonalesbissectent les angles → propriété caractéristique du losange.

Dans un sujet, on rencontre souvent la notation parallélogramme ABCD ou parallélogramme abcd. On s’appuie alors sur les propriétés du parallélogramme (diagonales qui se coupent au milieu, AB || CD, BC || AD) puis on ajoute une condition d’égalité de deux côtés adjacents pour conclure au losange ABCD.

Exemple guidé pas à pas

Donnée : Dans un quadrilatère ABCD, on sait que AC ⟂ BD, que AC coupe BD en son milieu, et que AB (= Ab) = BC. Démontrer que ABCD est un losange.

Idée : les diagonales perpendiculaires qui se coupent en leur milieu sont un signal fort. Avec l’égalité de deux côtés consécutifs, on conclut que les quatre côtés sont égaux.

Conclusion : ABCD est un losange ; les angles d’un losange opposés sont égaux, et l’aire se calcule via (AC × BD)/2. On a ainsi mobilisé les propriétés géométriques distinctives du losange.

Questions fréquentes de parents

Un losange peut-il avoir un angle droit ?

Oui, mais ce cas devient un carré : c’est un losange particulier avec quatre angles droits et des diagonales perpendiculaires et égales.

Pourquoi utilise-t-on souvent ABCD ?

La notation Abcd / ABCD facilite les repères dans un schéma. On nomme aussi les diagonales AC (Ac) et BD (Bd) pour appliquer directement les formules.