Qu’est-ce qu’une équation du second degré ?

Définition et forme générale ax² + bx + c = 0

Une équation du second degré ou trinôme du second degré est toute expression de la forme ax² + bx + c = 0 avec a ≠ 0. On parle aussi d’équation du 2ème degré.

Reconnaître un trinôme du second degré

On identifie la présence de x² ; si le coefficient devant x² (noté a) est non nul, on est bien dans le cas présent. Sinon, on retombe sur une équation du premier degré.

Les coefficients a, b et c expliqués

• a (non nul) : détermine l’ouverture de la parabole (sens et « largeur »).
• b : influe sur la position horizontale (calcul de b intervient dans la formule).
• c : l’ordonnée à l’origine (coefficients de l’équation et coefficient de l’expression).

Remarque. La fonction polynôme associée est f(x)=ax²+bx+c. Les points d’intersection avec l’axe des abscisses donnent les solutions. Pour progresser durablement, misez sur des cours particuliers de mathématiques adaptés à votre niveau.

Comment résoudre une équation du second degré ?

La formule du discriminant Δ = b² − 4ac

Le discriminant (ou discriminant \ delta) s’écrit Δ = b² – 4ac. On parle de discriminant de l’équation ; le signe du discriminant décide du nombre de solutions réelles.

Appliquer la formule delta étape par étape

1. Identifier les coefficientsa, b, c.
2. Calculer Δ = b² – 4ac (calcul de la valeur).
3. Selon le signe de Δ, appliquer les formules classiques :
   • Si Δ > 0 : deux solutions réellesx₁ = (-b – √Δ)/(2a) et x₂ = (-b + √Δ)/(2a).
   • Si Δ = 0 : une racine doublex₀ = -b/(2a).
   • Si Δ < 0 : pas de solution réelle (solutions complexes).

Méthodes de résolution alternatives

Factoriser directement le polynôme

Parfois, des racines évidentes sautent aux yeux (on parle de méthode des racines évidentes). Exemple : si x = 2 annule l’expression, alors (x – 2) est un facteur (X-2). On obtient la forme factoriséea(x-x₁)(x-x₂). Les produits et sommes des racines vérifient : x₁ + x₂ = -b/a ( sommes des racines ), x₁x₂ = c/a ( produit des racines ). On parle souvent de méthode produit-somme.

Utiliser la forme canonique

On transforme en a(x-α)² + β. Ici α = -b/(2a) et β = f(α) (la valeur β). On retrouve Δ = -4aβ : le signe de β donne la position de la parabole par rapport à l’axe des abscisses.

Complétion du carré pour résoudre

On complète l’expression au carré grâce à une identité remarquable : ax²+bx+c = a[(x+\frac{b}{2a})² – \frac{b²}{4a²} + \frac{c}{a}]. C’est la méthode manuelle la plus formatrice.

Résoudre des inéquations du second degré

Tableau de signes et analyse graphique

Pour ax²+bx+c \; \boldsymbol{\lesseqgtr}\; 0, on étudie le tableau de signes de f(x) à partir des racines et du signe de a (signes contraires selon les intervalles).

Déterminer les intervalles solutions

Si deux racines réelles existent x₁<x₂ : pour a>0, f(x)≤0 sur [x₁,x₂] ; pour a<0, f(x)≥0 sur [x₁,x₂]. Sinon, on conclut selon le signe global de f.

Applications pratiques avec exemples

Exercices corrigés niveau 2nde et 1ère

Problèmes concrets en physique et géométrie

• Physique. Lancement vertical : hauteur h(t)= -\frac{g}{2}t² + v₀t + h₀. Les temps où h(t)=0 mènent à une équation du second degré (deux instants ou un seul).
• Géométrie. Aire maximale d’un rectangle inscrit : on obtient une expression quadratique et une résolution via le discriminant.

Les systèmes d’équations peuvent parfois ramener à une seule équation quadratique à coefficients réels.

Calculer avec Python et Excel

import math
def resoudre_quadratique(a, b, c):
 # Équation de départ : ax² + bx + c = 0
 delta = b*b - 4*a*c
 if delta > 0:
 x1 = (-b - math.sqrt(delta)) / (2*a)
 x2 = (-b + math.sqrt(delta)) / (2*a)
 return ("Deux solutions réelles", (x1, x2), delta)
 elif delta == 0:
 x0 = -b / (2*a)
 return ("Racine double", (x0,), delta)
 else:
 return ("Pas de solution réelle", tuple(), delta)
print(resoudre_quadratique(1, -3, -10))

Interprétation graphique des solutions

Parabole et intersection avec l’axe des abscisses

Le graphe de f(x)=ax²+bx+c est une parabole. Les points d’intersection avec l’axe des abscisses correspondent aux solutions de l’équation.

Nombre de racines selon le discriminant

Deux intersections si Δ>0, une si Δ=0 (tangence), aucune si Δ<0.

Évitez les erreurs courantes

Piège du coefficient a = 0

Si a=0, l’équation n’est plus du second degré : c’est une équation du premier degré. Adaptez la méthode en conséquence.

Calculs avec des nombres complexes

Quand Δ<0, on peut poursuivre en complexe (au lycée, ce point peut être survolé). Les solutions réelles n’existent pas dans ce cas.

FAQ parent (clair et rapide)

Comment résoudre l’équation générale du second degré ?

Identifiez a, b, c, calculez le discriminant, concluez selon son signe et appliquez les formules des solutions. Vous pouvez aussi passer par la forme canonique ou la complétion du carré.

Comment trouver les racines d’un polynôme de degré 2 ?

Utilisez produit-somme si la forme factorisée est accessible ou la formule (-b ± √Δ)/(2a). Vérifiez l’égalité b / les égalités en remplaçant dans l’équation de départ.