Construire un tableau de variation

Le tableau de variation résume d’un coup d’œil le sens de variation d’une fonction et met en évidence ses valeurs extrêmes. C’est un outil incontournable au collège et au lycée pour lire une représentation graphique, justifier un maximum, ou vérifier une résolution d’équations. On s’appuie souvent sur la dérivée (et son tableau de signes) et sur l’ensemble de définition. Dans cette page, vous trouverez une méthode claire pour le construire, puis des cas types (exponentielle, logarithme, racine carrée, second degré…) avec des exemples rapides. Objectif : que votre enfant sache remplir un tableau propre, cohérent avec l’axe des abscisses et validé par un raisonnement solide. Si vous rencontrez des difficultés, n’hésitez pas à contacter notre équipe dédiée aux soutien scolaire de mathématique afin de prendre rendez-vous et de vous aider à réussir.

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Comment faire le tableau de variation d’une fonction exponentielle ?

Élément	Détail
Fonction	exp(x) est toujours positive et strictement croissante sur ℝ. Dérivée : (exp)’ = exp > 0.
Définition / domaine	ℝ
Dérivée	f′(x) = exp(x) > 0 ⇒ fonction croissante
Variations	de 0+ quand x → −∞ vers +∞ quand x → +∞
Exemple	f(x)=exp(x)−2 : même sens de variation ; seules les valeurs changent (translation verticale)
Piège	oublier que exp(x) n’est jamais nulle

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Comment remplir un tableau de variation ?

On procède du plus simple au plus sûr. Voici une routine courte qui marche dans la plupart des cas.

1. Définir le domaine (valeurs interdites, racines de dénominateur, etc.).
2. Calculer f′(x), résoudre f′(x)=0, dresser le tableau de signes de f′.
3. En déduire croissance/décroissance et extrema (si f′ change de signe).
4. Reporter des valeurs utiles : limites, images de points clés, éventuels asymptotes.

Astuce parent : demandez à l’élève de lire son tableau “de gauche à droite” comme une histoire : où la fonction monte, où elle descend, et pourquoi (signe de f′).

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Quel est le tableau de variation de la fonction cube ?

Élément	Détail
Fonction	f(x)=x3
Dérivée	f′(x)=3x2 ≥ 0 et nulle seulement en 0
Variations	strictement croissante sur ℝ ; pas de maximum/minimum local
Lecture	de −∞ à +∞, la flèche de f va vers le haut sans rupture

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Quel est le tableau de variation de la fonction exponentielle ?

Réponse brève : même conclusion que plus haut : croissante sur ℝ, jamais nulle, limite 0 à gauche, +∞ à droite.

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Quel est le tableau de variation de la fonction logarithme ?

Élément	Détail
Fonction	f(x)=ln(x)
Domaine	(0, +∞)
Dérivée	f′(x)=1/x > 0 sur (0, +∞)
Variations	croissante sur (0, +∞)
Limites	limx→0+ ln x = −∞ ; limx→+∞ ln x = +∞
Conseil	préciser la valeur interdite x ≤ 0 dans le tableau

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Quel est le tableau de variation de la fonction racine carrée ?

Élément	Détail
Fonction	f(x)=√x
Domaine	[0, +∞)
Dérivée	f′(x)= 12√x > 0 pour x>0
Variations	croissante sur [0, +∞)
Valeur repère	f(0)=0

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Comment faire un tableau de variation pour une fonction du second degré ?

Avec f(x)=ax²+bx+c, on gagne à passer par la forme canonique : f(x)=a(x−α)²+β avec α=−b/(2a). Le signe de a décide du sens.

Cas	Variations	Extrémum
a > 0	décroît sur (−∞, α], croît sur [α, +∞)	minimum en x=α
a < 0	croît puis décroît	maximum en x=α

Exemple : x²−4x+3 = (x−2)²−1 : minimum −1 en x=2.

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Comment faire un tableau de variation avec la dérivée ?

La méthode “officielle” au lycée : étudier le signe de la dérivée. Si f′(x)>0, f est croissante ; si f′(x)<0, décroissante. Les zéros de f′ structurent les intervalles de monotonie.

1. Résoudre f′(x)=0.
2. Dresser le tableau de signes de f′ (ou raisonner par étude de fonctions usuelles).
3. En déduire les variations et noter les extrema s’il y a changement de signe.

Astuce : un croquis rapide de la tangente ou de la courbe représentative aide à valider l’allure du tableau.

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Comment trouver le maximum et le minimum d’une fonction ?

Dans un tableau, un maximum local apparaît au passage croissant → décroissant ; un minimum au passage décroissant → croissant. On lit ensuite la valeur correspondante.

Exemple : si f′ change + puis − en x₀, alors f(x₀) est un maximum (et l’inverse pour un minimum).

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Comment montrer qu’une fonction est croissante ?

• Par la dérivée : f′ ≥ 0.
• Par un taux de variation : f(b)−f(a)b−a ≥ 0.
• En s’appuyant sur des fonctions usuelles (exp, ln, racine carrée) et des compositions.

À éviter : confondre “croissante” et “f′(x)>0 partout” (la nullité ponctuelle de f′ ne casse pas la croissance).

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Comment étudier les variations d’une fonction ?

On combine domaine, continuité/dérivabilité, dérivée et limites. L’étude se conclut par un tableau clair (intervalles, flèches, éventuels asymptotes), cohérent avec l’axe des abscisses.

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Quel est le tableau de variation de f ?

Réponse de méthode : on ne peut pas répondre sans connaître f. On suit la procédure standard : domaine → f′ → signe de f′ → variations → valeurs extrêmes → limites. On ajoute au besoin quelques images de points pour fiabiliser le tableau.

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Comment interpréter un tableau de variation ?

On lit d’abord le domaine, puis le sens de variation sur chaque intervalle, puis on repère les max/min et les valeurs remarquables. Le tableau doit raconter la même chose que la courbe : si le tableau dit “décroissant”, la représentation graphique doit descendre.

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Comment faire un tableau de variation ?

En résumé : identifiez le domaine, calculez f′, organisez un tableau de signes, puis remplissez votre tableau de variation avec des flèches (montée/descente) et des valeurs clés (limites, images). Une dernière lecture à voix haute évite 80 % des erreurs.

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Exemples rapides (mise en situation)

1. Second degré — f(x)=x²−2x. f′(x)=2x−2. Zéro en 1. Décroît sur (−∞,1], croît sur [1,+∞). Minimum f(1)=−1.
2. Quotient — f(x)= x/(x−2). Domaine ℝ∖{2}. f′(x)= −2(x−2)² < 0 ⇒ décroissante sur chaque intervalle de son domaine. Penser à noter l’asymptote verticale en x=2.
3. Racine — f(x)=√(x+1). Domaine [−1,+∞). f′(x)= 12√(x+1) > 0 ⇒ croissante.

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Erreurs fréquentes (checklist)

• Oublier de préciser l’ensemble de définition.
• Confondre variation de f et signe de f (il faut le signe de f′).
• Lire les flèches à l’envers (attention à l’ordre sur l’axe des abscisses).
• Négliger une valeur interdite (dénominateur nul, radicande négatif).
• Ne pas relier le tableau à la courbe représentative (croquis de validation recommandé).

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Exercices rapides

1. (Tu) Étudie les variations de f(x)= 2x+1x−3 et précise le sens de variation sur chaque intervalle de définition.
2. (Tu) Dresse le tableau de variation de g(x)=x²−4x+5.
3. (Tu) Donne le tableau de variation de h(x)=ln(x).
4. (Tu) Sur [0,+∞), étudie les variations de k(x)=√x et indique k(0).

Corrigés : 1) Domaine ℝ∖{3}. f′(x)= −7(x−3)² < 0 ⇒ décroissante sur (−∞,3) et (3,+∞). 2) g′(x)=2x−4 ⇒ 0 en 2. Décroissante sur (−∞,2], croissante sur [2,+∞). Min : g(2)=1. 3) Domaine (0,+∞). (ln)’=1/x > 0 ⇒ croissante ; lim_0⁺=−∞, lim_+∞=+∞. 4) Domaine [0,+∞). k′(x)= 12√x > 0 pour x>0. Croissante ; k(0)=0.

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FAQ

Faut-il toujours utiliser la dérivée ? Au lycée, oui dans la plupart des chapitres. Mais pour les fonctions usuelles (exp, ln, racine, polynômes simples), leurs variations sont connues et justifiables rapidement.

Le tableau de variation suffit-il pour prouver un maximum ? Oui s’il est étayé par l’étude du signe de f′ (changement de signe ± ↔ ∓). Pensez à bien lire la valeur maximale dans la ligne f(x).

Tableau de variations vs. tableau de signes ? Le tableau de signes concerne f ou f′ (positif/négatif) ; le tableau de variations concerne la montée/descente de f. On les construit souvent l’un à côté de l’autre.

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Cours particuliers de maths

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