Comprendre le Sens de Variation d’une Fonction 📚

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Comprendre comment évolue une fonction est essentiel pour anticiper son comportement. Le sens de variation d’une fonction permet de visualiser ses augmentations et diminutions selon un intervalle donné. Cette notion est centrale dans la résolution d’équations, l’analyse de courbes ou encore l’étude de phénomènes physiques ou économiques.

Les fondamentaux du sens de variation

Une fonction est dite croissante si, lorsqu’on avance sur l’axe des abscisses, les images augmentent. Elle est décroissante lorsque les images diminuent. Le sens de variation d’une fonction se définit donc sur un intervalle ouvert ou fermé en observant l’évolution de ses images. Ce comportement est intimement lié à la dérivée de la fonction.

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La dérivée : votre outil essentiel

Si une fonction f est dérivable, la signe de sa dérivée indique le sens de variation :

• Si f’(x) > 0, alors la fonction est strictement croissante sur l’intervalle considéré.
• Si f’(x) < 0, elle est strictement décroissante.
• Si f’(x) = 0, la fonction peut avoir un extremum local ou un plateau.

Ce lien entre fonction dérivable et variation d’une fonction est un pilier de l’analyse.

Comment déterminer le sens de variation d’une fonction affine croissante et décroissante ?

Une fonction affine est de la forme f(x) = ax + b. Elle est :

• Croissante si a > 0
• Décroissante si a < 0

Il n’est pas nécessaire de dresser un tableau de variations, car la dérivée est constante : f’(x) = a. Une simple lecture du coefficient directeur suffit pour déterminer le sens de variation.

Comment déterminer le sens de variation d’une fonction polynôme ?

Pour une fonction polynôme comme f(x) = x² – 4x + 3, il faut :

1. Calculer la dérivée f’(x)
2. Résoudre l’équation f’(x) = 0
3. Analyser le signe de f’(x) sur chaque intervalle ouvert délimité par les racines

Voici un exemple de tableau de variations pour f(x) = x² – 4x + 3 :

x	-∞	2	+∞
f’(x)	–	0	+
f(x)	↘	min	↗

La fonction est décroissante jusqu’à x = 2, puis croissante ensuite.

Méthode pour dresser un tableau de variations

1. Vérifier que la fonction est dérivable sur l’intervalle étudié.
2. Calculer sa dérivée f’(x).
3. Résoudre f’(x) = 0 pour obtenir les points critiques.
4. Tester le signe de f’(x) sur chaque sous-intervalle.
5. En déduire les variations de la fonction f.

Un tableau de variations synthétise alors les informations :

x	a	c	b
f’(x)	+	0	–
f(x)	↗	max	↘

Comment déterminer le signe de f ?

Étudier le signe de f(x) est utile pour résoudre les inéquations. Il faut rechercher les racines de la fonction puis étudier les intervalles où la fonction est positive ou négative.

Exemple : Pour f(x) = x² – 4, les racines sont x = -2 et x = 2. Le signe de f(x) est :

x	-∞	-2	2	+∞
f(x)	+	0	–	+

Quel est le sens de variation d’une fonction ?

Le sens de variation d’une fonction dépend de la signe de sa dérivée sur un intervalle ouvert. Une fonction peut être croissante, décroissante, constante, ou présenter des variations complexes, avec alternance de croissance et décroissance. Comprendre ce comportement est essentiel en mathématiques mais aussi dans les disciplines appliquées comme la physique ou l’économie.

Comment étudier les variations d’une fonction ?

Pour une étude complète, on suit cette méthode :

1. Déterminer le domaine de définition
2. Étudier la dérivabilité
3. Calculer f’(x)
4. Étudier le signe de f’(x)
5. En déduire les variations de f
6. Vérifier les limites si nécessaire

Ces étapes assurent une compréhension complète de la variation d’une fonction.

Les cas particuliers à maîtriser

• Fonction constante : f’(x) = 0 partout, donc aucun changement de variation.
• Fonction en escalier (non dérivable) : le sens de variation peut être discontinu.
• Points de rebroussement : f’(x) = 0 sans changement de signe, donc pas d’extrémum.

Ces cas nécessitent une attention particulière dans l’analyse.

Exercices pratiques avec correction

Exercice : Étudier les variations de f(x) = -2x² + 4x + 1

1. f’(x) = -4x + 4
2. f’(x) = 0 → x = 1
3. Tableau de variations :

x	-∞	1	+∞
f’(x)	+	0	–
f(x)	↗	max	↘

La fonction f est croissante sur ]-∞ ; 1] puis décroissante sur [1 ; +∞[.

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