Comment factoriser une expression facilement
Nael Hamameh - 18/07/2025Maîtrisez la factorisation d’expressions mathématiques : méthodes et exercices
Factoriser une expression est une compétence clé en mathématiques, notamment au collège et au lycée. Elle permet de simplifier les calculs, de résoudre des équations plus efficacement et de mieux comprendre les propriétés des expressions algébriques. Mais alors, comment factoriser une expression de manière simple et rigoureuse ?
La factorisation en mathématiques : définition et principes
Que veut dire factoriser en mathématiques ?
Factoriser, c’est transformer une expression algébrique sous forme d’une somme ou d’une différence en une forme d’un produit. Autrement dit, on écrit l’expression sous forme de facteurs multipliés.
Par exemple :
x2+3x=x(x+3)
Dans cet exemple, on a mis en évidence un facteur commun, ici x, ce qui permet de simplifier l’expression.
Pourquoi factoriser une expression ?
- Pour simplifier des calculs littéraux ou numériques ;
- Pour résoudre plus facilement des équations ;
- Pour mettre en évidence une propriété mathématique ou une structure particulière de l’expression.
Vous rencontrez des difficultés à factoriser des expressions en maths ? N’hésitez pas à contacter le Cours Legendre afin de bénéficier d’un accompagnement scolaire en mathématique pour réussir votre années et vos examens futurs.
Les méthodes essentielles pour factoriser une expression
Quelles sont les méthodes pour factoriser une expression ?
Il existe trois méthodes principales pour factoriser :
- Chercher un facteur commun
- Utiliser une identité remarquable
- Transformer l’expression en produit de deux facteurs (notamment pour le second degré)
La recherche du facteur commun : première approche
Comment factoriser une expression ?
C’est souvent la première méthode à maîtriser. Elle consiste à repérer les éléments communs à chaque terme d’une expression et les regrouper.
Exemple :
4x+6=2(2x+3)
On a mis 2 en facteur commun.
Voici un tableau illustrant quelques exemples typiques :
| Expression initiale | Factorisation |
|---|---|
| 5x+10 | 5(x+2) |
| 3a−6b | 3(a−2b) |
| 7xy+14x | 7x(y+2) |
Cette méthode est la base pour apprendre à factoriser au collège, notamment en 4ème.
L’utilisation des identités remarquables
Les identités remarquables sont des formules à connaître par cœur pour factoriser rapidement.
Les 3 identités les plus utilisées
- (a+b)2=a2+2ab+b2
- (a−b)2=a2−2ab+b2
- (a+b)(a−b)=a2−b2
Exemple :
Factoriser x2−9
On reconnaît x2−32, donc :
x2−9=(x−3)(x+3)
Les identités remarquables sont très utilisées dès la 3ème et encore plus en seconde.
La factorisation des expressions du second degré
Comment factoriser x2+2x+3 ?
Pour factoriser une expression du second degré de la forme ax2+bx+c, il faut parfois utiliser le discriminant :
Δ=b2−4ac
Trois cas :
| Valeur de Δ | Forme factorisée |
|---|---|
| Δ>0 | Deux racines : a(x−x1)(x−x2) |
| Δ=0 | Une racine double : a(x−x0)2 |
| Δ<0 | Pas de factorisation réelle |
Exemple :
x2+2x+1=(x+1)2 (Δ = 0)
Mais pour x2+2x+3, le discriminant est négatif :
Δ=22−4×1×3=4−12=−8, donc pas de factorisation dans ℝ.
Progressez pas à pas dans la factorisation
Les bases de la factorisation en 4ème
En 4e, on apprend à repérer un facteur commun, à manipuler les expressions numériques simples et à poser les bases de la forme d’un produit.
Exemple :
8x−4=4(2x−1)
On introduit aussi les calculs littéraux pour mieux comprendre les structures.
Renforcement en 3ème : expressions complexes
En 3e, on approfondit :
- Utilisation systématique des identités remarquables
- Résolution d’équations à partir de formes factorisées
- Factorisation de trinomiales simples
Exemple :
x2+5x+6=(x+2)(x+3)
Perfectionnement en seconde : niveau avancé
En seconde, la factorisation devient plus exigeante. On doit :
- Calculer des discriminants
- Utiliser les formules quadratiques
- Travailler avec des expressions à plusieurs variables
Exemple :
2×2+7x+3=(2x+1)(x+3)
Les outils pour réussir votre factorisation
Formules et astuces pour factoriser efficacement
Voici quelques formules pratiques à mémoriser :
- a2−b2=(a−b)(a+b)
- ax+ay=a(x+y)
- x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
Et quelques astuces :
- Toujours regarder s’il y a un facteur commun
- Vérifier le développement inverse
- Simplifier les signes avant de factoriser
La calculatrice : un support pour vérifier
Si elle ne remplace pas le raisonnement, la calculatrice peut aider à tester la validité d’une factorisation. Elle permet :
- De vérifier le développement d’une expression factorisée
- De comparer les résultats numériques avant/après factorisation
Nos cours particuliers pour maîtriser la factorisation
Un accompagnement personnalisé par niveau
Pour beaucoup d’élèves, la factorisation reste abstraite. C’est pourquoi un professeur particulier peut :
- Reprendre les bases oubliées
- Proposer des exemples adaptés à l’élève
- S’appuyer sur les notions vues en classe pour les approfondir
Un suivi personnalisé permet de progresser plus vite et en confiance.
Des exercices adaptés à chaque élève
Voici un exemple de progression typique :
| Niveau | Objectifs principaux | Type d’exercices |
|---|---|---|
| 4e | Facteurs communs, calculs littéraux | Simplification d’expressions |
| 3e | Identités remarquables, équations | Factorisation, résolution |
| 2nde | Trinômes, discriminant, factorisation complexe | Factorisation par Δ, exercices types Bac |
Factoriser une expression, c’est bien plus qu’un simple exercice de maths. C’est une clé de lecture des expressions algébriques, un outil fondamental pour aborder les équations, les fonctions, et bien d’autres notions mathématiques. Grâce aux méthodes présentées ici — du facteur commun aux identités remarquables, en passant par les formules du second degré — vous avez toutes les cartes en main pour progresser.
N’oubliez pas de pratiquer régulièrement avec des exemples et des exercices de maths, et si besoin, de vous faire accompagner par un professeur particulier. La forme d’un produit n’aura bientôt plus de secret pour vous !
