Théorie des ensembles : introduction, opérations et exercices corrigés
Katia EDWARD - 25/02/2026Qu’est ce que la théorie des ensemble ?
La théorie des ensembles constitue le socle de toutes les mathématiques modernes. Développée à partir des travaux de Georg Cantor à la fin du XIXe siècle, elle fournit le langage et les outils permettant de définir les nombres, les fonctions, les espaces et la plupart des objets mathématiques. Que l’on étudie l’algèbre, l’analyse, les probabilités ou la logique, on manipule des ensembles.
Ce guide propose une introduction progressive : notions de base, opérations ensemblistes, diagrammes de Venn, ensembles infinis et exercices corrigés.
Qu’est-ce qu’un ensemble ?
Un ensemble est une collection d’objets bien définis, appelés éléments. On note l’appartenance d’un élément x à un ensemble E par x ∈ E (« x appartient à E ») et la non-appartenance par x ∉ E. Un ensemble peut être décrit en extension (en listant ses éléments entre accolades : {1, 2, 3}) ou en compréhension (en précisant une propriété : {x ∈ ℕ | x < 4}).
L’ensemble vide, noté ∅, est l’ensemble qui ne contient aucun élément. Il est inclus dans tout ensemble.
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Ensembles de nombres usuels
Les mathématiques utilisent plusieurs ensembles de nombres emboîtés. ℕ désigne les entiers naturels (0, 1, 2, 3, …). ℤ désigne les entiers relatifs (…, −2, −1, 0, 1, 2, …). ℚ désigne les rationnels (fractions d’entiers). ℝ désigne les nombres réels (rationnels et irrationnels). ℂ désigne les nombres complexes. On a l’inclusion : ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ.
Inclusion et parties d’un ensemble
On dit que A est un sous-ensemble (ou une partie) de B, noté A ⊂ B, si tout élément de A est aussi élément de B. L’ensemble de toutes les parties de E est noté P(E). Par exemple, si E = {a, b}, alors P(E) = {∅, {a}, {b}, {a, b}} et contient 2² = 4 éléments. Plus généralement, si E possède n éléments, P(E) en possède 2ⁿ.
Opérations sur les ensembles
Union
L’union de A et B, notée A ∪ B, est l’ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B (ou aux deux). Si A = {1, 2, 3} et B = {2, 3, 4, 5}, alors A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}.
Intersection
L’intersection de A et B, notée A ∩ B, est l’ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B. Avec les mêmes exemples : A ∩ B = {2, 3}. Si A ∩ B = ∅, les ensembles sont dits disjoints.
Complémentaire
Le complémentaire de A dans E, noté Ā ou E \ A, est l’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à A. Cette opération est au cœur des raisonnements par contraposée et par l’absurde.
Différence et différence symétrique
La différence A \ B contient les éléments de A qui ne sont pas dans B. La différence symétrique A △ B contient les éléments qui appartiennent à l’un des deux ensembles mais pas aux deux.
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Diagrammes de Venn
Les diagrammes de Venn sont des représentations visuelles des opérations ensemblistes. Chaque ensemble est figuré par un cercle, et les zones de chevauchement illustrent les intersections. Ces diagrammes sont particulièrement utiles en probabilités conditionnelles pour visualiser les événements et leurs combinaisons.
Produit cartésien
Le produit cartésien A × B est l’ensemble des couples (a, b) avec a ∈ A et b ∈ B. Par exemple, {1, 2} × {a, b} = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b)}. Le plan ℝ² est le produit cartésien ℝ × ℝ.
Fondements axiomatiques : Zermelo-Fraenkel
La théorie « naïve » des ensembles de Cantor a conduit à des contradictions, dont le célèbre paradoxe de Russell : l’ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes mène à une contradiction logique. Pour résoudre ce problème, les mathématiciens ont développé la théorie axiomatique ZFC (Zermelo-Fraenkel avec l’axiome du choix), qui encadre rigoureusement la construction des ensembles.
L’axiome du choix affirme que pour toute famille d’ensembles non vides, il existe une fonction qui sélectionne un élément dans chacun. Bien qu’intuitif, cet axiome a des conséquences surprenantes et reste un sujet d’étude en logique mathématique.
Ensembles infinis et hypothèse du continu
Cantor a démontré que tous les ensembles infinis ne sont pas de la même taille. L’ensemble ℕ des entiers naturels est dénombrable, tandis que l’ensemble ℝ des réels ne l’est pas : il est « strictement plus grand ». L’hypothèse du continu, qui postule qu’il n’existe pas d’ensemble de taille intermédiaire entre ℕ et ℝ, est indécidable dans ZFC : on ne peut ni la démontrer ni la réfuter.
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Exercices corrigés
Exercice 1 :
Soient A = {1, 2, 3, 4, 5} et B = {3, 4, 5, 6, 7}. Déterminer A ∪ B, A ∩ B et A \ B.
Correction 1 :
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. A ∩ B = {3, 4, 5}. A \ B = {1, 2}.
Exercice 2 :
Dans E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, on pose A = {x ∈ E | x est pair} et B = {x ∈ E | x ≤ 5}. Déterminer le complémentaire de A ∩ B dans E.
Correction 2 :
A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {1, 2, 3, 4, 5}. A ∩ B = {2, 4}. Le complémentaire est {1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Exercice 3 :
Combien de parties possède un ensemble à 5 éléments ?
Correction 3 :
2⁵ = 32 parties.
Ce qu’il faut retenir
La théorie des ensembles fournit le vocabulaire et les outils de base de toutes les mathématiques : appartenance, inclusion, union, intersection, complémentaire. Les diagrammes de Venn offrent une visualisation précieuse. Pour aller plus loin, consultez nos articles sur les probabilités conditionnelles et les nombres complexes.
Ces notions, bien qu’élémentaires en apparence, deviennent exigeantes lorsqu’on aborde les fondements axiomatiques ou les raisonnements sur les ensembles infinis. Un accompagnement structuré permet de poser des bases solides qui serviront tout au long des études supérieures.
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Quelle est la théorie des ensembles de Georg Cantor ?
La théorie des ensembles de Georg Cantor constitue l’une des révolutions mathématiques les plus importantes de la fin du XIXe siècle. Développée par le mathématicien allemand Georg Cantor (1845-1918) à partir de 1874, cette théorie a transformé notre compréhension des mathématiques et de l’infini.
Les origines de la théorie de Cantor
Cantor commence ses recherches en s’intéressant aux séries trigonométriques et aux nombres irrationnels. C’est en étudiant les points de discontinuité des fonctions qu’il développe progressivement ses idées sur les ensembles. En 1874, il publie dans le Journal de Crelle l’article fondateur qui démontre que l’ensemble des nombres réels est « plus grand » que celui des nombres entiers, révolutionnant ainsi la conception de l’infini.
Les concepts révolutionnaires
La théorie de Cantor introduit plusieurs concepts fondamentaux :
Les ensembles infinis actuels : contrairement à ses prédécesseurs qui ne concevaient l’infini que comme une limite, Cantor traite les ensembles infinis comme des objets mathématiques à part entière
Les nombres cardinaux transfinis : il démontre qu’il existe différentes « tailles » d’infini, mesurables par des nombres cardinaux
L’argument diagonal : cette méthode ingénieuse lui permet de prouver que certains ensembles infinis sont « plus grands » que d’autres
L’impact et les controverses
Les travaux de Cantor suscitent de vives controverses dans la communauté mathématique. Leopold Kronecker s’oppose farouchement à ses idées, tandis que David Hilbert les défend en déclarant que « personne ne nous expulsera du paradis créé par Cantor ». Cette théorie devient progressivement le langage universel des mathématiques modernes, permettant de formaliser rigoureusement les concepts de nombre, de fonction et de structure mathématique.
Aujourd’hui, la théorie des ensembles de Cantor, enrichie par les axiomes de Zermelo-Fraenkel, constitue le fondement de l’édifice mathématique contemporain.