Définition et reconnaissance d’un polynôme du second degré

Un polynôme du second degré (ou trinôme) en x est une expression de la forme ax² + bx + c avec a, b, c des coefficients réels et a ≠ 0.

Coefficients et conditions d’existence

Quand on écrit ax² (et non Ax²), on peut lire a × x². C’est le produit de a par le carré de x.
Notez que si a = 0, on n’a plus de x², on retombe donc sur une fonction affine (premier degré).

Nos enseignants proposent un suivi régulier en maths pour consolider ces bases.

Exemples concrets

• f(x) = 2x² – 4x + 1 → a = 2, b = -4, c = 1.
• g(x) = -x² + 3x – 5 → a = -1, b = 3, c = -5.

Les trois formes essentielles du polynôme

Il est crucial de savoir passer d’une forme à l’autre selon le problème posé.

• Forme développée : ax² + bx + c (pour lire a, b, c).
• Forme canonique : a(x – α)² + β (pour le sommet et les variations).
• Forme factorisée : a(x – x₁)(x – x₂) (pour les racines et le signe).

Comment trouver la forme canonique (Méthode par complétion du carré)

C’est la démonstration clé du cours. On part de la forme développée en factorisant par a, puis on force l’apparition d’une identité remarquable :

f(x) = a [ x² + (b/a)x ] + c
= a [ (x + b/2a)² – (b/2a)² ] + c
= a(x + b/2a)² – (b² – 4ac) / 4a

Cela nous donne les formules directes pour α et β :
α = -b / 2a
β = f(α) = -Δ / 4a

Le discriminant Δ et le discriminant réduit δ

Calcul du discriminant Δ

Pour résoudre ax² + bx + c = 0, on calcule :
Δ = b² – 4ac

Le discriminant réduit δ (Astuce calculatoire)

Lorsque b est pair, on peut simplifier les calculs en utilisant le discriminant réduit.
On pose b’ = b / 2.
Le discriminant réduit est alors : δ = b’² – ac (soit Δ / 4).

Résoudre une équation du second degré

Les solutions (ou racines) dépendent du signe du discriminant.

• Si Δ > 0 (ou δ > 0) : Deux racines distinctes.
  x₁ = (-b – √Δ) / 2a
  x₂ = (-b + √Δ) / 2a
  Avec le discriminant réduit : x = (-b’ ± √δ) / a
• Si Δ = 0 : Une racine double.
  x₀ = -b / 2a
• Si Δ < 0 : Pas de solution réelle.

Techniques de factorisation rapide

Plutôt que de calculer Δ systématiquement, utilisez les propriétés de somme et produit des racines :

• Somme : x₁ + x₂ = -b / a
• Produit : x₁ × x₂ = c / a

Exemple : Pour x² – 5x + 6, on cherche deux nombres dont la somme fait 5 et le produit 6. C’est 2 et 3.

Exercices corrigés (Extraits de cours)

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