Logarithme népérien : définition, propriétés, dérivée et exercices corrigés
Katia EDWARD - 25/02/2026Définition du logarithme népérien
Le logarithme népérien (noté ln) est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Étudié en Terminale spécialité mathématiques, il transforme les produits en sommes et les puissances en produits, ce qui en fait un outil indispensable pour résoudre des équations exponentielles, étudier des limites de fonctions et modéliser des phénomènes de décroissance.
Qu’est-ce que le logarithme népérien ?
La fonction logarithme népérien est l’unique fonction f définie sur ]0 ; +∞[ telle que e(f(x)) = x pour tout x > 0. Autrement dit, ln(x) est le nombre y tel que eʸ = x. On écrit : ln(x) = y ⇔ eʸ = x. En particulier, ln(1) = 0 (car e⁰ = 1) et ln(e) = 1 (car e¹ = e).
Le domaine de définition du logarithme népérien est l’ensemble des réels strictement positifs : on ne peut pas calculer ln(x) pour x ≤ 0.
Pourquoi utilise-t-on le logarithme népérien ?
Le logarithme népérien joue un rôle fondamental en mathématiques car il transforme les calculs complexes en opérations plus simples. Historiquement, cette fonction a été développée pour faciliter les calculs astronomiques et de navigation au XVIIe siècle
En pratique, le logarithme népérien permet de :
- Résoudre des équations exponentielles où l’inconnue figure en exposant
- Modéliser des phénomènes naturels comme la croissance démographique, la désintégration radioactive ou les intérêts composés
- Simplifier l’étude de fonctions grâce à ses propriétés de dérivation
- Calculer des aires sous certaines courbes, notamment l’hyperbole y = 1/x
Le logarithme népérien est également indispensable pour comprendre les fonctions de croissance et leur comportement asymptotique. Sa base naturelle e (≈ 2,718) apparaît spontanément dans de nombreux contextes scientifiques, ce qui explique pourquoi on l’appelle aussi « logarithme naturel ».
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Comment calculer un logarithme népérien ?
Pour calculer un logarithme népérien, plusieurs méthodes s’offrent à vous selon le contexte et la précision recherchée.
Avec une calculatrice scientifique : Utilisez la touche « ln » de votre calculatrice. Par exemple, pour calculer ln(5), tapez simplement « ln » puis « 5 ». Vous obtiendrez approximativement 1,609.
Pour des valeurs particulières :
- ln(1) = 0 (car e⁰ = 1)
- ln(e) = 1 (car e¹ = e)
- ln(e²) = 2 (car e² = e²)
- ln(1/e) = -1 (car e⁻¹ = 1/e)
En utilisant les propriétés algébriques : Les formules de calcul permettent de décomposer des expressions complexes :
- ln(8) = ln(2³) = 3 × ln(2)
- ln(50) = ln(2 × 25) = ln(2) + ln(25) = ln(2) + ln(5²) = ln(2) + 2ln(5)
Pour des calculs approximatifs : Vous pouvez utiliser l’inégalité ln(x) ≤ x – 1 qui donne une majoration, ou développer en série de Taylor pour plus de précision.
La maîtrise de ces techniques de calcul est essentielle pour réussir les exercices de Terminale et aborder sereinement les épreuves du baccalauréat.
Quelles sont les propriétés algébriques du logarithme népérien ?
Les propriétés de ln traduisent les règles de calcul des exposants en termes additifs. Pour tous réels a > 0 et b > 0 :
ln(a × b) = ln(a) + ln(b) — le logarithme transforme un produit en somme.
ln(a / b) = ln(a) − ln(b) — le quotient se transforme en différence.
ln(aⁿ) = n × ln(a) — la puissance se transforme en produit (valable pour tout réel n).
En particulier : ln(1/a) = −ln(a) et ln(√a) = ln(a)/2. Ces propriétés permettent de simplifier des expressions et de résoudre des équations.
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Relation fondamentale avec l’exponentielle
Les fonctions ln et exp sont réciproques l’une de l’autre, ce qui donne deux identités essentielles. Pour tout réel x : ln(eˣ) = x. Pour tout réel x > 0 : e(ln(x)) = x. Ces identités sont la clé pour résoudre les équations exponentielles et logarithmiques.
Dérivée du logarithme népérien
La dérivée de ln(x) est : (ln(x))’ = 1/x pour tout x > 0. Plus généralement, si u est une fonction strictement positive et dérivable, la dérivée de ln(u(x)) est u'(x)/u(x). Cette formule est très fréquente dans les études de fonctions.
Exemple : La dérivée de f(x) = ln(x² + 1) est f'(x) = 2x/(x² + 1).
Limites du logarithme népérien
Les limites aux bornes du domaine de définition sont fondamentales. Quand x tend vers +∞ : ln(x) → +∞, mais très lentement (le logarithme croît moins vite que toute puissance de x). Quand x tend vers 0⁺ : ln(x) → −∞.
Les résultats de croissance comparée précisent cette lenteur. En +∞ : lim ln(x)/xⁿ = 0 pour tout n > 0 (l’exponentielle et les puissances l’emportent sur le logarithme). En 0⁺ : lim xⁿ × ln(x) = 0 pour tout n > 0. Ces limites sont indispensables pour lever les formes indéterminées.
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Courbe représentative
La courbe de la fonction ln passe par le point (1 ; 0), est strictement croissante et concave (elle tourne sa concavité vers le bas). La tangente en x = 1 a pour pente 1 (puisque la dérivée en 1 vaut 1/1 = 1), d’équation y = x − 1. La courbe est située en dessous de cette tangente, ce qui donne l’inégalité classique : ln(x) ≤ x − 1 pour tout x > 0.
Quelle est la différence entre log et ln ?
Le symbole ln désigne le logarithme de base e (logarithme népérien ou naturel). Le symbole log désigne généralement le logarithme de base 10 (logarithme décimal) en France, bien que dans la littérature anglophone, log puisse aussi désigner le logarithme népérien. La relation entre les deux est : log₁₀(x) = ln(x)/ln(10). En pratique au lycée, on travaille exclusivement avec ln.
Comment résoudre une équation avec ln ?
Pour résoudre une équation logarithmique, on utilise les propriétés algébriques pour regrouper les termes, puis on applique l’exponentielle pour « enlever » le ln. Par exemple, ln(x) = 3 donne x = e³. Pour ln(2x + 1) = ln(x + 5), l’injectivité de ln donne 2x + 1 = x + 5, soit x = 4 (après vérification que les arguments restent positifs).
Exercices corrigés
La continuité de fonction composée suit un théorème fondamental : si f est continue en a et g est continue en f(a), alors g∘f est continue en a.
Exercice 1 :
Simplifier ln(e³) + ln(1/e²).
Résolution 1 :
ln(e³) = 3 et ln(1/e²) = −ln(e²) = −2. Résultat : 3 + (−2) = 1.
Exercice 2 :
Résoudre ln(x − 2) + ln(x + 1) = ln(10).
Résolution 2 :
ln((x−2)(x+1)) = ln(10), donc (x−2)(x+1) = 10, soit x² − x − 12 = 0. Discriminant = 49, donc x = 4 ou x = −3. Comme x doit vérifier x > 2, la seule solution est x = 4.
Exercice 3 :
Calculer la dérivée de f(x) = x·ln(x) − x.
Résolution 3 :
f'(x) = 1·ln(x) + x·(1/x) − 1 = ln(x) + 1 − 1 = ln(x).
Exercice 4 :
Calculer lim(x→+∞) ln(x)/√x.
Résolution 4 :
Par croissance comparée (ln(x)/x(1/2) avec n = 1/2 > 0), la limite est 0.
Ce qu’il faut retenir
Le logarithme népérien est la fonction réciproque de l’exponentielle. Ses propriétés algébriques transforment les produits en sommes. Sa dérivée est 1/x et ses limites de croissance comparée sont essentielles en Terminale. Pour compléter, consultez nos articles sur la fonction exponentielle et les limites de fonctions.
Les erreurs sur le domaine de définition (oublier que l’argument de ln doit être strictement positif) et la confusion entre propriétés (ln(a+b) ≠ ln(a) + ln(b)) sont les pièges les plus fréquents. Un travail ciblé avec un enseignant permet de corriger ces réflexes et d’automatiser la bonne application des formules.