La Formule de la dérivée de 1/u tableau

La dérivée de 1/u tombe régulièrement en contrôle. Elle fait partie des “réflexes” à avoir quand on étudie une fonction dérivable au lycée. Bonne nouvelle : la règle est courte, la méthode simple, et quelques exemples corrigés suffisent pour la mémoriser. L’objectif : savoir reconnaître la situation, appliquer la bonne formule de la dérivée et vérifier rapidement le résultat.

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Quelle est la dérivée de 1/u ?

Quand u=u(x) est dérivable et ne s’annule pas, la dérivée du réciproque s’écrit :

On peut la voir comme la dérivée de u⁻¹ (règle de la chaîne) ou comme un cas particulier de la dérivée d’un quotient (produit avec u⁻²).

Élément	Contenu
Formule	(1/u)′ = − u′ / u2
Conditions	u dérivable, et u(x) ≠ 0 sur l’intervalle étudié
Interprétation	Vue comme (u−1)′ (chaîne) ou comme cas du quotient

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Comment l’appliquer sans se tromper

1. Identifier clairement u(x) et calculer u′(x).
2. Vérifier que u(x) ≠ 0 sur l’intervalle étudié.
3. Composer la formule : (1/u)′ = − u′ / u².
4. Alléger l’expression (factoriser, simplifier) et préciser le domaine.

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Exemples commentés

#	f(x)	u(x)	u′(x)	Domaine indiqué	f′(x)
1.	1/x	x	1	x ≠ 0	− 1/x2
2.	1/(x2+1)	x2+1	2x	ℝ	− 2x(x2+1)2
3.	1/sin x	sin x	cos x	sin x ≠ 0	− cos xsin2 x = − cot x · csc x

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Écarts fréquents à éviter

• Oublier le signe “moins”.
• Dériver le dénominateur et garder 1 au numérateur (erreur de quotient).
• Négliger la condition u(x) ≠ 0.
• Mal dériver u(x) (surtout pour une fonction composée).

Astuce parent. Demandez à l’élève d’expliquer à voix haute où il a utilisé la règle de la chaîne ; s’il sait le dire, il sait l’appliquer.

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Exercices rapides

1. f(x)= 1/(3x−5). Calculer f′(x).
2. g(x)= 1/√x sur x > 0. Calculer g′(x).
3. h(x)= 1/(x²−4x+7). Calculer h′(x).

Corrigés.

Fonction	u	u′	f′(x)
f(x)= 1/(3x−5)	3x−5	3	− 3/(3x−5)2
g(x)= 1/√x (x>0)	√x = x1/2	(1/2)·x−1/2	− u′/u2 = − (1/2)·x−1/2 · x−1 = − 1/(2x3/2)
h(x)= 1/(x2−4x+7)	x2−4x+7	2x−4	− (2x−4)/(x2−4x+7)2

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FAQ

Faut-il apprendre la démonstration ? Non au collège, parfois conseillé en 1re/Terminale : on part de u⁻¹ et on applique la règle de la chaîne.

Et pour (k/u)′ avec k constant ? Le facteur sort : (k/u)′ = −k · (u′/u²).

Quand utiliser la dérivée du quotient plutôt que 1/u ? Dès que la fonction ressemble à vu avec v non constant : on applique la règle générale du quotient.

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