Forme trigonométrique des nombres complexes : cours et exercices corrigés
Katia EDWARD - 25/02/2026Qu’est-ce que la forme trigonométrique ?
La forme trigonométrique d’un nombre complexe est une écriture qui met en évidence son module et son argument. Elle facilite considérablement les opérations de multiplication, de division et d’élévation à la puissance. Ce cours complète notre article sur les nombres complexes (formes algébrique et exponentielle) en détaillant la forme trigonométrique, ses liens avec le cercle trigonométrique et ses applications.
Rappel : module et argument
Tout nombre complexe z = a + bi peut être représenté par un point M(a ; b) dans le plan complexe. Le module de z est la distance de M à l’origine : |z| = √(a² + b²). L’argument de z (noté arg(z)) est l’angle θ que forme le segment [OM] avec l’axe réel positif, mesuré dans le sens trigonométrique. Il est défini à 2π près.
Pour déterminer l’argument, on utilise : cos(θ) = a/|z| et sin(θ) = b/|z|. Il faut être attentif au quadrant dans lequel se trouve le point M pour choisir la bonne valeur de θ.
Écriture sous forme trigonométrique
La forme trigonométrique d’un nombre complexe z de module r et d’argument θ est :
z = r (cos θ + i sin θ)
Cette écriture est équivalente à la forme exponentielle z = re(iθ) grâce à la formule d’Euler. Elle est la plus naturelle pour interpréter géométriquement les opérations sur les complexes.
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Comment mettre un nombre complexe sous forme trigonométrique ?
La démarche est systématique en trois étapes. Premièrement, calculer le module r = √(a² + b²). Deuxièmement, écrire cos θ = a/r et sin θ = b/r. Troisièmement, identifier θ parmi les angles connus ou à l’aide de la fonction arctangente, en tenant compte du quadrant.
Exemple : z = −√3 + i. Module : r = √(3 + 1) = 2. cos θ = −√3/2 et sin θ = 1/2. On reconnaît θ = 5π/6 (deuxième quadrant). Forme trigonométrique : z = 2(cos(5π/6) + i sin(5π/6)).
Opérations en forme trigonométrique
Multiplication
Le produit de deux complexes z₁ = r₁(cos θ₁ + i sin θ₁) et z₂ = r₂(cos θ₂ + i sin θ₂) est :
z₁ × z₂ = r₁r₂ (cos(θ₁ + θ₂) + i sin(θ₁ + θ₂))
On multiplie les modules et on additionne les arguments. Géométriquement, multiplier par z₂ revient à dilater d’un facteur r₂ et à tourner de l’angle θ₂.
Division
Le quotient est : z₁/z₂ = (r₁/r₂)(cos(θ₁ − θ₂) + i sin(θ₁ − θ₂)). On divise les modules et on soustrait les arguments.
Puissance (formule de Moivre)
Pour un entier n : zⁿ = rⁿ(cos(nθ) + i sin(nθ)). C’est la formule de Moivre. Elle est remarquablement simple en forme trigonométrique et permet de calculer des puissances élevées sans multiplications successives.
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Conjugué en forme trigonométrique
Le conjugué de z = r(cos θ + i sin θ) est z̄ = r(cos(−θ) + i sin(−θ)) = r(cos θ − i sin θ). Le module est conservé et l’argument est changé en son opposé. Géométriquement, le conjugué est le symétrique par rapport à l’axe réel.
Passage entre les trois formes
Les trois écritures d’un nombre complexe (algébrique, trigonométrique, exponentielle) sont des outils complémentaires. La forme algébrique a + bi est adaptée à l’addition et à la soustraction. La forme trigonométrique r(cos θ + i sin θ) et la forme exponentielle re^(iθ) sont adaptées à la multiplication, la division et la puissance. Savoir passer de l’une à l’autre avec aisance est une compétence clé.
Interprétation géométrique
Dans le plan complexe, la multiplication par un complexe de module 1 et d’argument θ correspond à une rotation d’angle θ autour de l’origine. La multiplication par un réel positif r correspond à une homothétie de rapport r. Toute multiplication par un complexe z₀ est donc la composée d’une rotation et d’une homothétie. Cette interprétation est au fondement des similitudes directes du plan.
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Exercices corrigés
La continuité de fonction composée suit un théorème fondamental : si f est continue en a et g est continue en f(a), alors g∘f est continue en a.
Exercice 1 :
Mettre z = 1 − i sous forme trigonométrique.
Correction 1 :
|z| = √(1 + 1) = √2. cos θ = 1/√2, sin θ = −1/√2, donc θ = −π/4. Forme trigonométrique : z = √2(cos(−π/4) + i sin(−π/4)).
Exercice 2 :
Calculer (1 + i)⁶ à l’aide de la forme trigonométrique.
Correction 2 :
1 + i = √2(cos(π/4) + i sin(π/4)). Par Moivre : (1+i)⁶ = (√2)⁶(cos(6π/4) + i sin(6π/4)) = 8(cos(3π/2) + i sin(3π/2)) = 8(0 + i(−1)) = −8i.
Exercice 3 :
z₁ = 3(cos(π/6) + i sin(π/6)) et z₂ = 2(cos(π/3) + i sin(π/3)). Calculer z₁ × z₂.
Correction 3 :
|z₁z₂| = 6. arg(z₁z₂) = π/6 + π/3 = π/2. Donc z₁z₂ = 6(cos(π/2) + i sin(π/2)) = 6i.
Exercice 4 :
Déterminer la forme algébrique de z = 4(cos(2π/3) + i sin(2π/3)).
Correction 4 :
z = 4(−1/2 + i√3/2) = −2 + 2i√3.
Ce qu’il faut retenir
La forme trigonométrique z = r(cos θ + i sin θ) simplifie les multiplications (modules multipliés, arguments additionnés) et les puissances (formule de Moivre). Le passage à cette forme exige le calcul du module et la détermination soigneuse de l’argument selon le quadrant. Pour compléter, consultez nos articles sur les nombres complexes (formes algébrique et exponentielle) et la trigonométrie.
La détermination de l’argument reste le point délicat : une erreur de quadrant entraîne une réponse fausse. Un entraînement méthodique avec un enseignant qui corrige en temps réel permet d’ancrer le bon réflexe et d’aborder les exercices de complexes avec assurance.