Pivot de Gauss : méthode, algorithme et exercices corrigés

Qu’est-ce que le pivot de Gauss ?

La méthode du pivot de Gauss consiste à transformer un système d’équations linéaires en un système équivalent plus simple, dit échelonné, en effectuant des opérations élémentaires sur les lignes. Un système échelonné se résout ensuite facilement par remontée, en partant de la dernière équation.

L’idée centrale est de choisir un coefficient non nul (le « pivot ») dans une colonne, puis d’éliminer tous les autres coefficients de cette colonne en combinant les lignes entre elles.

Quelle est la formule du pivot de Gauss ?

La formulation mathématique du pivot de Gauss s’exprime à travers trois transformations fondamentales appliquées aux lignes d’une matrice.
Chaque étape suit une logique précise :
Li ← λLi (multiplication d’une ligne par un scalaire non nul), Li ↔ Lj (échange de deux lignes), et Li ← Li + μLj (addition d’un multiple d’une ligne à une autre).

Dans sa notation matricielle, le processus transforme un système AX = B en un système équivalent UX = C, où U représente une matrice triangulaire supérieure. L’algorithme garantit que det(A) = ±det(U), le signe dépendant du nombre d’échanges effectués.

La transformation algébrique suit cette séquence : pour chaque colonne j, on sélectionne akj ≠ 0 comme élément de référence, puis on annule tous les coefficients aij (i > k) en appliquant Li ← Li – (aij/akj)Lk. Cette approche systématique conduit inexorablement vers la forme échelonnée recherchée.

Comment calculer le pivot de Gauss ?

Exemple corrigé : système 3×3

Énoncé : Résoudre le système : x + 2y − z = 3 ; 2x + 5y + z = 8 ; 3x + 7y − 2z = 7.

Résolution : On écrit la matrice augmentée :

[1 2 −1 | 3]
[2 5 1 | 8]
[3 7 −2 | 7]

L₂ ← L₂ − 2L₁ donne [0 1 3 | 2]. L₃ ← L₃ − 3L₁ donne [0 1 1 | −2].

[1 2 −1 | 3]
[0 1 3 | 2]
[0 1 1 | −2]

L₃ ← L₃ − L₂ donne [0 0 −2 | −4].

[1 2 −1 | 3]
[0 1 3 | 2]
[0 0 −2 | −4]

Remontée : −2z = −4, donc z = 2. Puis y + 3×2 = 2, donc y = −4. Enfin x + 2×(−4) − 2 = 3, donc x = 13.

Pivot de Gauss et inverse d’une matrice

Pour calculer l’inverse d’une matrice A, on écrit la matrice augmentée [A|I] (où I est la matrice identité) et on applique le pivot de Gauss jusqu’à obtenir [I|A⁻¹]. Si le processus aboutit à une ligne nulle à gauche, la matrice n’est pas inversible.

Pivot de Gauss et déterminant

Le déterminant se déduit facilement de la forme échelonnée : c’est le produit des pivots, multiplié par (−1) élevé au nombre d’échanges de lignes effectués. Un déterminant nul signifie que la matrice n’est pas inversible et que le système peut avoir zéro ou une infinité de solutions.

Pivot de Gauss avec paramètre

Lorsqu’un système contient un paramètre (souvent noté m ou λ), le pivot de Gauss conduit à discuter selon les valeurs de ce paramètre. Typiquement, le dernier pivot obtenu est une expression dépendant du paramètre : si elle est non nulle, le système a une solution unique ; si elle est nulle, il faut examiner la compatibilité du système.

Ce qu’il faut retenir

Le pivot de Gauss est un algorithme systématique et universel pour résoudre les systèmes linéaires, quel que soit leur taille. Il repose sur trois opérations élémentaires et conduit à un système échelonné qu’on résout par remontée. Pour approfondir, consultez nos articles sur les systèmes linéaires et le calcul matriciel.

La difficulté principale réside dans l’organisation rigoureuse des calculs et le choix judicieux des pivots. Un entraînement régulier et un accompagnement structuré permettent d’acquérir la méthodologie nécessaire pour traiter efficacement même les systèmes les plus complexes.